Комбинированные уравнения
Для решения показательного уравнения его нужно свести к простейшему уравнению вида , откуда следует, что . Иногда такое преобразование можно провести непосредственно, в других случаях требуется предварительно сделать замену переменной.Пример 1. Решить уравнение: .Решение.Представим обе части равенства в виде степеней с основанием 2:Ответ: Пример 2. Решить уравнение: 4x+2 + 2 ∙ 4x – 5x+2 = 5 ∙ 5x.Решение.Поменяем порядок слагаемых:4x+2 + 2 ∙ 4x = 5x+2 + 5 ∙ 5x, 4x (16 + 2) = 5x (25+5),18 ∙ 4x = 30 ∙ 5x, Ответ: Пример 3. Решить уравнение: 2х+4 ∙ 3х = 576.Решение.Преобразуем левую часть: 16 ∙ (2х ∙ 3х) = 576 и разделим обе части на 16: 6х = 36, х = 2.Ответ: 2.Пример 4.Решить уравнение: Решение.Запишем уравнение в виде: и сделаем замену: t = 2x (t > 0). Тогда:2t2 + 16t – 40 = 0,t2 + 8t – 20 = 0,t1 = 2, t2 = - 10 < 0 — посторонний корень.Обратная замена: 2х = 2, х = 1.Ответ: 1.Пример 5. Решить уравнение: Решение.Если записать левую часть так: то можно заметить, что основания степеней (числа 4, 10, 25) образуют геометрическую прогрессию. В этом случае можно разделить обе части равенства, например, на 25х ( поскольку ни при каком х это выражение не равно нулю) и получить уравнение или Замена приводит к уравнению t2 + 2t – 8 = 0, t1 = 2, t2 = -4 < 0 — посторонний корень. Следовательно, Ответ: Пример 6. Решить уравнение: 12x ∙ 4x – 5x ∙ 2x + 1 – 9 ∙ 4x + 1 + 30 ∙ 2x = 0.Решение.Разложим левую часть на множители: , Первый множитель никогда не равен нулю, поэтому ответом будут корни уравнений:Ответ: 3; .Пример 7. Решить уравнение: Решение.Заметим, что первое подмодульное выражение положительно при любом х, то есть его модуль равен подмодульному выражению. Рассмотрим две возможности для знака второго подмодульного выражения:Ответ: Пример 8.Решить уравнение: Решение.При решении этого уравнения важно не забыть, что равенство будет верным не только в случае, когда показатель степени равен 0, но и тогда, когда основание степени в левой части равно 1, так как при возведении 1 в любую степень мы получим 1. Кроме того, ОДЗ определяется условием: х – 5 ≠ 0, то есть х ≠ 5.1 случай. 2 случай. Ответ: 4; 6; При решении логарифмических уравнений, так же, как в случае иррациональных уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — – расширение области определения исходного уравнения. Поэтому и проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо непосредственно по предварительно найденной области определения, либо по условиям её задающим (подстановкой в соответствующую систему неравенств). Заметим, что иногда удобно осуществить проверку и непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение. Это, конечно же, допустимо. Естественно, что при решении логарифмических уравнений возможно и следование стратегии равносильных преобразований. Далее мы рассмотрим примеры решения разного рода.Расширение области определения при решении логарифмических уравнений связано, как правило, с двумя обстоятельствами:Область определения левой части этих формул может быть шире области определения правой их части.Заметим, что применение этих формул «слева направо» вообще следует избегать, т.к. это может привести к сужению области определения уравнения и потере корней.Пример 9. Решим уравнение: Решение.Будем представлять правую часть уравнения последовательно в виде логарифмов с основаниями 4, 2 и 3 и проводить преобразование потенцирования:, Проверим найденное значение непосредственной подстановкой в исходное уравнение:  Мы пришли к верному числовому равенству. Таким образом,  — единственный корень данного уравнения.Ответ: 41.Пример 10. Решим уравнение: Решение.Представим 1 как и преобразуем левую и правую части уравнения, исходя из свойств логарифмов:Потенцируя уравнение, получаем:Решим это рациональное уравнение:Осуществим проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями: т.е. область определения: Оба корня, очевидно, принадлежат области определения. Таким образом, корни данного уравнения Ответ: 1,5; 10.Пример 11. Решим уравнение: Решение.Пусть тогда получаем систему уравнений:Корни первого уравнения системы: Тогда исходное уравнение равносильно совокупности: т.е. Потенцируя полученные уравнения приходим к выводу, что х = 9 или х =  Оба этих значения являются корнями данного уравнения, поскольку его область определения задается условием х + 1 >  0, т.е. х >  -1.Ответ: 9; Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то следует привести их к одному основанию, воспользовавшись формулами перехода к новому основанию логарифма:
Пример 12. Решим уравнение: Решение.В данном уравнении перейдем к логарифмам по основанию 2:Последнее уравнение равносильно системе: Корни первого уравнения системы Таким образом, имеем совокупность уравнений: которая равносильна системе Откуда очевидно, что  — единственный корень данного уравнения.Заметим, что применение формул перехода к новому основанию логарифма, как правило, приводит к изменению области определения уравнения. Поэтому следует анализировать в ходе решения, как возможность появления посторонних корней, так и возможность потери корней.Ответ: 0,5.Пример 13. Решим уравнение: Решение.Прежде всего, воспользуемся известным свойством логарифма и получим одинаковое для всех логарифмов логарифмируемое выражение:Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма, получаем:Далее имеем:Корни второго уравнения системы: Следовательно, решение исходного уравнения свелось к решению совокупности: Решим первое уравнение совокупности: Аналогично, решая второе уравнение совокупности, получаем х = 4.Найдем, теперь область определения исходного уравнения и проведем проверку корней: т.е. Ясно, что оба найденных значения х удовлетворяют области определения.Наконец, следует проанализировать возможную потерю корней. Для этого выясним, когда наши преобразования приводили к сужению области определения уравнения. После перехода к новому основанию логарифма дальнейшее решение осуществляется при условии: и Дополнительное условие не имеет отношения к исходному уравнению, поэтому х = 1 — возможный потерянный корень. Подставив значение х = 1 в исходное уравнение, убеждаемся, что это действительно корень. Таким образом, корни исходного уравнения: Ответ: .Применяя при решении логарифмических уравнений формулы перехода к новому основанию целесообразней переходить к новому основанию не являющемуся выражением с переменной, а равному некоторому числу. Как правило, это позволяет избежать потери корней. Каким конкретно числом должно быть новое основание логарифмов всегда можно понять, проанализировав данное уравнение.Так в рассмотренном выше примере, подходящим новым основанием логарифмов является число 2. Это следует из того, что все входящие в уравнения основания логарифмов имеют вид: где  — целое число.Далее, с учетом этого замечания оформим решение уравнения из примера 6 как схему равносильных переходов.Еще раз следует отметить, что решение любого уравнения должно осуществляться не механически, а сознательно, с пониманием сущности всех преобразований, с обязательным анализом возможностей появления посторонних корней и потери корней. Если такой анализ непосредственно «вплетен» в ход решения, то наиболее действенно оформлять это решение схемой равносильных переходов. Хотя это и приводит, порой, к весьма громоздким записям. Громоздкости при записи решения уравнения в виде схемы равносильных переходов можно избежать следующим приемом: начать решение уравнения с нахождения области определения и затем при проведении решения соблюдать не «равносильность вообще», а «равносильность на области определения». Оформим решение уравнения из примера 6 с учетом этого приема.Область определения этого уравнения (множество М):Далее, имеем:Оформим также в виде равносильных переходов решение уравнений из следующих примеров. Эти уравнения (весьма распространенные в заданиях ЕГЭ, группа С), содержащие логарифмы, у которых и основания, и логарифмируемые выражения — выражения с переменной.Пример 14. Решим уравнение: Решение.Область определения этого уравнения (множество М): т.е. Далее, имеем:Ответ: 2.Пример 15.Ответ: а) Ш; б) 1.Часто трудности с решением рациональных уравнений обусловлены для абитуриентов тем, что решение, как говорится «в лоб», по алгоритму метода разложения на множители:,где A (x), B (x) — произвольные рациональные выражения; P (x), Q (x) — многочлены,приводит к громоздким, «рутинным» преобразованиям или к необходимости находить корни многочленов степени большей, чем второй. А это уже не совсем «школьная» задача. При этом даже в самых очевидных случаях, абитуриенты не применяют метод введения новой переменной. А ведь введение новой переменной позволяет быстро упростить решаемое уравнение. Это мощный метод, его следует понимать и применять.Введение новой переменной осуществляется тогда, когда решаемое уравнение представимо в виде f (g (x)) = 0. Полагая g (x) = t, мы переходим к решению системы:Если уравнения f (t) = 0, g(x) = t1 , g(x) = t2,…, g (x) = tn, где t1, t2,…, tn — корни уравнения f (t) = 0 проще исходного уравнения, то метод, как говорится, сработал.Рассмотрим различные рациональные уравнения, для решения которых весьма полезен метод введения новой переменной, но не очевидны случаи, когда исходное уравнение непосредственно имеет вид f (g(x)) = 0. Поиск удачной подстановки g (x) = t и специальная работа по приведению исходного уравнения к указанному виду, составляет главную сущностную часть решения уравнения. Решение же уравнения f (t) = 0 и совокупности уравнений g (x) = ti — сравнительно несложная, техническая часть процесса решения уравнения.Решение дробно-рациональных уравнений нередко сводится к решению обычных квадратных уравнений, но с учетом ограничений на допустимые значения неизвестного. В частности, из ОДЗ исключаются те значения х, при которых хотя бы один из знаменателей дробей, входящих в уравнение, обращается в 0.Этапы решения рационального уравнения.
  1. Определить ОДЗ (ни один знаменатель не может равняться нулю).
  2. Найти наименьший общий знаменатель всех дробей.
  3. Умножить уравнение на этот знаменатель и решить полученное целое уравнение.
  4. Включить в ответ только те корни, которые входят в ОДЗ.
Пример 16.Решим уравнение: Решение.Раскрыв скобки в знаменателях, получаем уравнение:Полагая, что x2 + 3х + 2 = t приходим к системе уравнений:Решив первое уравнение системы, получаем корни t1 = 2, t1 = 18. Далее, из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения: .Ответ: .Пример 17.Решим уравнение: .Решение.Прибавим к числителю второй дроби выражение 2х - 2х, тождественно равное нулю:Полагая , приходим к системе уравнений:Решив первое уравнение системы, получаем корни: t1 = -1, t2 = 2. Из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения:Ответ: Пример 18.Решим уравнение: Решение.Полагая, что , приходим к системе уравнений:Решим первое уравнение системы, воспользовавшись формулой:Имеем:Решив полученное биквадратное уравнение, получаем корни t1, 2 = ± 1 и соответственно: x1 = -5, x2 = -3.Ответ: -5; -3.Пример 19.Решим уравнение: Решение.Принимая во внимание тождество , перепишем данное уравнение в виде:Полагая, что , имеем систему уравнений:4t2 + 12t - 55 = 0,Решив первое уравнение системы, получаем корни: .Из второго уравнения системы получаем корни исходного уравнения: .Ответ: Пример 20.Решим уравнение: Решение.Левая часть уравнения представляет собой сумму квадратов. Для решения уравнения, удобно превратить ее в полный квадрат, добавив к обеим частям уравнения соответствующее удвоенное произведение:Полагая, что , имеем систему уравнений:Решив первое уравнение системы, получаем корни t1 = -9, t2 = 3. Далее, из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения: .Пример 21.Решим уравнение: Решение.Положим, что x2 + х + 4 = t. Тогда заданное уравнение принимает вид:t2 + 8xt + 15x2 = 0.Решив это уравнение как квадратное относительно t, получаем:Совокупность уравнений:дает корни исходного уравнения: Ответ: .Метод введения новой переменной иногда называют методом замены переменной. Это не совсем правомерно. Введение новой переменной в уравнение отнюдь не предполагает обязательное исчезновение из уравнения старой переменной.Пример 22.Решим уравнение: Решение.Пусть x0 — корень уравнения. Введем новые неизвестные u = 2 - x0 и х = x0 - 3. Понятно, что термин «новые переменные» в данном случае был бы применен неправильно. U и v — хотя и неизвестные, но постоянные величины, ибо х0 — постоянная, а отнюдь не переменная величина.Имеем систему уравнений:Воспользовавшись формулой:,имеем:Учитывая, что u + v = -1, из второго уравнения системы получаем:Таким образом, либо uv = 1, либо uv = 0 и для нахождения u и v имеем две системы уравнений (совокупность систем):Первая система решений не имеет.Корни второй системы: u1 = 0, v1 = -1 и u2 = -1, v2 = 0. Отсюда либо x0 = 2, либо x0 = 3.Итак, корни исходного уравнения: x1 = 2, x2 = 3.Ответ: 2; 3.Весьма распространенный прием решения иррациональных уравнений и неравенств — возведение в квадрат. Тем не менее, советуем вам пользоваться им как можно реже, ибо он обладает существенными недостатками: во-первых, возводя в квадрат обе части уравнения, вы расширяете область допустимых значений неизвестного, что может привести к появлению посторонних корней; во-вторых, часто в результате этой операции получается уравнение с громоздкими коэффициентами, работать с которыми затруднительно (особенно если на экзамене не разрешается пользоваться калькулятором). Наконец, главный недостаток этого приема — увеличение вдвое степени уравнения. Возведя обе части в квадрат, вы можете избавиться от иррациональностей, но получить рациональное уравнение степени выше второй, способы решения которого в общем виде вам неизвестны или вообще не существуют.Если возводить в квадрат все-таки приходится, нужно внимательно следить за тем, чтобы не включить в ответ посторонние корни. В частности, если уравнение имеет вид то для корней должно выполняться условие (при этом , и условие отдельно ставить не требуется). Еще один способ обнаружить посторонние корни — проверка всех найденных корней подстановкой их в первоначальное уравнение.Пример 23.Решить уравнение: .Решение.Корни должны удовлетворять условию 4х - 8 ≥ 0, то есть х ≥ 2. Возведем обе части в квадрат: — посторонний корень.Ответ: х = 3.Пример 24..Поскольку неизвестное входит в подкоренное выражение и в рациональную часть уравнения в виде одной и той же комбинации (x2 - 7х), можно сделать замену: , тогда x2 - 7х = t2 - 19, и t определяется из уравнения: 2t + t2 - 19 + 4 = 0, t2 + 2t - 15 = 0, t1 = 3, t2 = - 5 < 0 — не соответствует условию на знак t.Обратная замена:Ответ: х = 2, х = 5.Замена переменной очень полезна при решении иррациональных уравнений. Часто с ее помощью удается избежать необходимости возведения в квадрат.Пример 25.Решить уравнение: .Решение.Подкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому замена приводит к уравнению:Случай 1. Случай 2. Ответ: Следует обратить внимание на то, что в некоторых заданиях нет необходимости в проверке корней или задании каких-либо ограничений: значения х определяются из условия, что корень принимает некоторое неотрицательное значение.Пример 26.Решить уравнение: .Решение.Перепишем уравнение в виде: и возведем обе части в квадрат, не задавая никаких ограничений: проще будет в конце работы проверить получившиеся корни:Еще раз возведем в квадрат обе части полученного равенства:.Проверка. — корень уравнения. —  — не корень уравнения.Ответ: х = 16.Пример 27.Решить уравнение: .В этом уравнении замена поможет ограничиться только одним возведением в квадрат: Ответ: .Пример 28..Решение.ОДЗ задается условием: . Запишем уравнение в виде:  — посторонний корень., (корень первого уравнения х = 0 не удовлетворяет второму условию). Итак, единственный корень исходного уравнения — х = 11.Ответ: х = 11.Рассмотренные совокупности решаются просто, но в более сложных случаях обязательное соблюдение условия равносильности преобразований может привести к серьезным техническим трудностям, сделать решение слишком ветвящимся и громоздким. Поэтому, не будем строго запрещать применение любых неравносильных преобразований. Все ли они одинаково опасны? Понятно, что более опасны неравносильные преобразования, приводящие к потере корней. В большинстве случаев потерянные корни отыскать весьма трудно (заметим также, что малоопытный решающий, а абитуриент часто именно таков, может вовсе не заметить факта потери корня, и не будет пытаться его отыскать, хотя это, может быть, и получилось бы).Итак, на не равносильные преобразования, приводящие к потере корней, мы накладываем строгий и категорический запрет. При решении уравнений, таким образом, мы не будем применять деление обеих частей уравнения на выражение, обращающееся в ноль в области определения уравнения, и не будем применять преобразования, приводящие к сужению области определения уравнения.Что же касается, неравносильных преобразований, приводящих к появлению посторонних корней, то такие преобразования вполне допустимы. Но при этом, обязательным заключительным этапом решения должна быть проверка всех найденных в итоге корней. Заметим, что тактика проверки зависит непосредственно от класса уравнений (рациональные, иррациональные, логарифмические и т.д.), ибо в каждом случае свои причины появления посторонних корней. В этой связи, тактика проверки конечно должна быть гибкой, но можно пользоваться и универсальным приемом: подстановка всех корней итогового уравнения в исходное с последующим вычислением или «прикидкой».Пример 29.Решим уравнение: При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования при обязательной проверке корней. Решая уравнения вида , следует перед возведением в квадрат уединить один из корней, перенеся его в правую часть уравнения. Уединить можно любой из корней, и в большинстве случаев, все равно какой. Но иногда уединение определенного корня приводит к более простому решению, чем уединение других. Поэтому всегда следует анализировать ситуацию в указанном аспекте.Решение.В нашем уравнение сумма коэффициентов при х в первом и третьем подкоренных выражениях равна коэффициенту при х во втором подкоренном выражении. Поэтому уединить целесообразно именно корень . Полученное после возведения в квадрат уравнение будет содержать х только под корнем. Если бы мы уединяли любой из других корней, то после возведения в квадрат получали бы уравнения, содержащие х и под корнем, и вне корня, что менее удобно для последующего решения.Итак, имеем:При решении иррационального уравнения мы осуществляем так называемую рационализацию уравнения, т.е. избавляемся от радикалов (корней). Но, избавляясь от корней, мы избавляемся и от ограничений на подкоренные выражения: Иными словами, происходит расширение области определения уравнения. Это причина появления посторонних корней. Поэтому все корни итогового уравнения, полученного в ходе решение, следует проверить на принадлежность области определения исходного уравнения. В нашем случае область определения исходного уравнения задается системой:Решив эту систему, получаем область определения уравнения:Очевидно, что  — посторонний корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований, приведших к расширению области определения уравнения, а x2 = 0 — принадлежит области определения уравнения и является его корнем (что легко проверить непосредственной подстановкой).Ответ: х = 0.Но единственная ли причина появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений с радикалами четной степени — расширение области определения исходного уравнения? Не кроется ли в возведении обеих частей уравнения в четную степень еще одна, менее очевидная, но не менее опасная в смысле ошибки, причина появления посторонних корней?Пример 30.а) Решим уравнение: При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования, т.е. возведем обе части уравнения в квадрат, решим полученное рациональное уравнение и сделаем проверку корней.Итак, Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.Пусть х = -1, тогда левая часть исходного уравнения равна -6. Таким образом, х = -1 — посторонний для исходного уравнения корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований. Пусть теперь, х = 7. Тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Исходное уравнение, таким образом, имеет единственный корень х = 7.б) Решим теперь уравнение (его чрезвычайно, малое отличие от предыдущего уравнения очевидно).Поступая так же, как в случае «а», получаем:Итоговое уравнение имеет такие же корни, что и уравнение из случая «а». Проверим их подстановкой в исходное уравнение . Пусть х = -1, тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Пусть, далее, х = 7. Тогда левая часть исходного уравнения равна -2. Таким образом, х = 7 — посторонний для исходного уравнения корень.В процессе решения следствием уравнений «а», «б» является одно и тоже уравнение имеющее два корня: x1 = -1 и x2 = 7. Корень x1 = -1 — есть корень уравнения «б», но посторонний для уравнения «а»; корень x2 = 7 — наоборот, корень уравнения «а», посторонний для уравнения «б».В каждом из случаев «а» и «б» корни, оказавшиеся посторонними, принадлежат области определения данного уравнения. Значит, расширение области определения исходного уравнения — не единственная причина появления посторонних корней. В чем же дело? Заметим, что и в случае «а», и в случае «б» при подстановке в исходное уравнение корень, оказывающийся посторонним, приводит к ситуации: левая и правая части уравнения равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Это не случайно. Уравнение является следствием не только уравнения , но и следствием уравнения . Какие следует сделать из этого выводы?Во-первых, поскольку появление посторонних корней при решении иррациональных уравнений, содержащих радикалы четной степени может быть и не связано с областью определения исходного уравнения, то и проверка корней не может осуществляться только по области определения, или условиям ее задающим.Во-вторых, проверка корней иррационального уравнения, должна учитывать обе причины появления посторонних корней; универсальный прием, как уже говорилось, состоит в непосредственной подстановке в исходное уравнение, но могут быть реализованы и другие подходы.
  1. Сначала отсечь те корни, которые не принадлежат области определения исходного уравнения, а оставшиеся проверить непосредственной подстановкой во все уравнения левая и правая части которых возводились в квадрат в процессе решения.
  2. Опять же исключить все корни, не принадлежащие области определения, а затем проанализировать все случаи возведения в квадрат обеих частей уравнения, выделить те случаи, где было нарушено условие равносильности:Далее только в эти уравнения подставить корни итогового уравнения, принадлежащие области определения исходного уравнения.
  3. Если решать иррациональные уравнения, применяя только равносильные преобразования, то в каждом случае возведения в квадрат следует предусматривать условие равносильности, сформулированное выше, и изначально следует зафиксировать условия, задающие область определения исходного уравнения.
Рассмотрим схемы равносильных преобразований для иррациональных уравнений основных видов.
Заметим, что важно, конечно, не выучить наизусть эти схемы, а понять их, уметь самостоятельно составлять схемы равносильности для других случаев.Не надо думать, что в процессе решения иррационального уравнения обязательно появляются посторонние корни. Рассмотрим пример.Пример 31.Решим уравнение: Решение.Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем 1 + 3х = x2 + 2х + 1, т.е. уравнение x2 – х = 0. Его корни x1 = 0 и x2 = 1. Подставляя каждый из найденных корней в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются его корнями.Пример 32.Решим уравнение: Решение.Уединим радикалы: Возведем обе части уравнения в квадрат (дважды):Корни последнего уравнения:Далее следует провести проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями т.е. 1 ≤ x ≤ 3. Как нетрудно проверить, полагая приближенно равным 1,7, что оба корня x1 и x2 принадлежат области определения исходного уравнения. Значит, если среди x1 и x2 есть посторонний корень, то причина его появления связана с нарушением условия равносильного возведения обеих частей уравнения в квадрат. Ясно, также, что первое из проделанных в данном решении возведений в квадрат — равносильное преобразование, поэтому если и появились посторонние корни, то при возведении в квадрат обеих частей уравнения Непосредственной подстановкой именно в это уравнение проверим наши корни x1 и x2.Итак, пусть тогда:Мы пришли к верному числовому равенству. Значит  — корень данного уравнения.Пусть теперь Тогда Ясно, что левая часть уравнения отрицательна, а правая положительна. Поэтому  — посторонний корень.Пример 33.Решим уравнение: Распределим радикалы следующим образом: Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные слагаемые:Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:Проведем проверку корней. Сразу замечаем, что корень не имеет смысла при x = -0,5. Поэтому единственный возможный корень исходного уравнения — это х = 2, удовлетворяющий всем условиям области определения. Поскольку, возводя обе части уравнения в квадрат, мы всякий раз соблюдали условие равносильности, то х = 2 — единственный корень исходного уравнения.Пример 34.Решим уравнение: .При решении этого уравнения покажем применение метода введения новой переменной при решении иррациональных уравнений.Возведем обе части уравнения в квадрат: Пусть теперь , тогда уравнение можно переписать в виде:.Это уравнение имеет два корня: . Таким образом, следствием исходного уравнения является совокупность систем:Решим первую систему совокупности.Обозначим: и .Тогда имеем: Таким образом, Корни этой совокупности систем: Аналогично, решая вторую систему исходной совокупности, получаем:.Пример 35.Решим уравнение: Подкоренные выражения и представляют из себя полные квадраты:Тогда:Пусть , тогда уравнение можно переписать в виде:Возведем обе части последнего уравнения в квадрат, затем воспользуемся тождеством и формулой разности квадратов:Если у = 0, то , т.е. х = 1. Если у = 2, то , т.е. х = 5. Если у = 1, то , т.е. х = 2. Если у = -1, то уравнение не имеет корней.Непосредственной подстановкой в исходное уравнение всех найденных значений х, приходим к выводу, что только х = 5 является корнем данного уравнения.Рассмотрим далее примеры решения иррациональных уравнений с корнями степени, большей, чем вторая.Пример 36.Решим уравнение: Перераспределим радикалы Возведем обе части уравнения в третью степень:Выражение в скобках, очевидно, есть — , т.е.:Снова возведем обе части уравнения в третью степень:Далее имеем:В процессе решения, был применен прием, связанный с заменой суммы на выражение , что могло привести к появлению посторонних корней (такой вывод позволяет сделать определенная искусственность этого приема). Поэтому проверим все найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение.Если х = -2, то исходное уравнение обращается в верное числовое равенство.Для подстановки значений возьмем приближенное значение: Тогда и .Если х = -0,4, то:Ясно, что это числовое равенство неверно, поскольку все три значения корней положительны, а сумма положительных чисел не может быть равна 0.Если х = -2,6, то:Ясно, что эта сумма не может быть равна 0, т.к. уже Заметим, что довольно часто, «прикидка» при проверки корней позволяет сделать необходимый вывод на определенном промежуточном этапе вычислений, и доводить их до явного числового равенства или неравенства совсем не обязательно (это снова к вопросу о гибкой тактике проверки корней).Таким образом, х = -2 — единственный корень данного уравнения.Ответ: -2.Комментарий. Запишем в общем виде прием решения, рассмотренный в этом примере:По аналогичной схеме решаются уравнения вида .Большие трудности у абитуриентов вызывают иррациональные уравнения, содержащие радикалы разных степеней. Рассмотрим примеры.Пример 37.Комментарий. Заметим, что описанный в случае «б» прием является достаточно распространенным. Рассмотрим его применение при решении уравнений с радикалами высших степеней.Пример 38.Решим уравнение: Пусть Тогда . Возведем в четвертую степень обе части каждого из уравнений системы , и почленно сложим полученные уравнения. В итоге получаем: Таким образом, имеем систему уравнений: Это симметрическая система уравнений, стандартно решающаяся заменой переменных a + b = y и ab = z.Имеем корни: . Отсюда x1 = 2, x2 = 6. Проверка показывает, что это действительно корни данного уравнения.Ответ: x1 = 2, x2 = 6.Пример 39.Решим уравнение: Аналогично предыдущему примеру получаем симметрическую систему относительно переменных и :Корни этой системы легко угадываются: Далее получаем корни исходного уравнения: x1 = 1 и x2 = 32.Ответ: x1 = 1.Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том, что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка. Это — далеко не всегда.При решении тригонометрических уравнений проверка найденных решений необходима, если:Каждая из указанных причин может привести к появлению посторонних корней. Заметим, что применение формул из п. 2 «справа налево», напротив, может привести к потере корней, в силу сужения области определения.Решение тригонометрических уравнений в большинстве случаев проводится либо с помощью замены переменной, либо разложения на множители, но и тот, и другой способ применяется в разных вариантах в зависимости от вида конкретного уравнения. Поэтому в данном разделе вам предлагается более подробная классификация типов тригонометрических уравнений и методов их решения.Пример 40.Решить уравнение: .Решение.Обе части уравнения легко представляются как выражение, зависящее только от tgx:.Далее, заменой tgx = y, тригонометрическое уравнение рационализуется:.В итоге , т.е. и .Однако можно заметить, что значения также удовлетворяют исходному уравнению. Это потерянные корни. В чем причина?! В основе преобразований формулы, сужающие область определения: .(В нашем случае и ).Еще раз настойчиво предостерегаем от применения приемов решения уравнений, ведущих к сужению области определения и возможной потере корней.Пример 41.Решить уравнение: Решение.Перераспределим компоненты уравнения: Далее, в левой части воспользуемся формулой: Имеем: т.е. Теперь представим sin x как синус двойного аргумента:Перенесем все компоненты уравнения в одну часть и вынесем общий множитель за скобки:Вновь воспользуемся формулой разности синусов:Последнее уравнение равносильно совокупности:Таким образом, уравнение имеет два семейства корней: и , если и бесконечно много корней: если Ответ: если , то .если , то .Рассмотрим также примеры решения комбинированных уравнений, т.е. уравнений, в которых над переменной, в той или иной комбинации производятся иррациональные, показательно-степенные, логарифмические и тригонометрические операции. Такого рода задания вызывают у абитуриентов определенные трудности. В основе этих трудностей, как правило, лежит некая негативная психологическая установка. Абитуриент как бы говорит себе: «Таких уравнений я в школе не решал; что-то слишком много всего накручено; это мне не по силам». В связи с этим дадим два совета.Совет первый. По внешнему виду задания нельзя судить о его простоте или трудности; трудность — это характеристика не задания, а действенности Ваших знаний и умений. Начинайте решать, пробуйте, пытайтесь, несмотря на то, что задание кажется вам «страшным» и недоступным.Совет второй. Решайте комбинированное уравнение как бы по действиям, отграничивая иррациональную часть решения от логарифмической, логарифмическую от тригонометрической и т.п. Осуществить это можно введением новых переменных. В конце решения осуществляйте тем или иным образом проверку корней.Пример 42.Решить уравнение: .Решение.Пусть тогда . Далее решаем уже не комбинированное, а тригонометрическое уравнение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:«Тригонометрическая часть» решения завершена; далее необходимо решить показательное уравнение с параметром n:Прежде всего, выясним, при всех ли n у данного уравнения существуют корни. Ясно, что, поскольку левая часть уравнения, как сумма степеней тройки, всегда положительна, то условие существования корней уравнения:Решим это неравенство. Если n > > 0, то Очевидно, что полученная система несовместна. Если n ≥ 0, то Система равносильна неравенству n ≥ 0.Таким образом, учитывая, что , получаем вывод: корни у данного уравнения существуют при значениях параметра n: n = 0, 1, 2, 3, …. Именно при этом условии решаем далее показательное уравнение.Преобразуем левую часть уравнения по свойствам степени:Тогда имеем:Таким образом, Это «семейство» логарифмов и составляет множество корней исходного комбинированного (показательно — тригонометрического) уравнения.Ответ: Пример 43.Решить уравнение: Решение.Прежде всего, укажем область определения уравнения. Она задается условиями: т.е. системой Пусть теперь . Тогда, вместо комбинированного, имеем логарифмическое уравнение с двумя переменными а и b: это уравнение преобразуется в уравнение: Далее, если положить, что то имеем простое рациональное уравнение: Его единственный корень — y = 1. Значит, т.е. Отсюда b = a, т.е. Корнями этого тригонометрического уравнения является семейство: Нетрудно видеть, что оно удовлетворяет области определения исходного уравнения, а значит, и составляет множество его корней.Ответ: Пример 44.Решить уравнение: Решение.Заметим, что решение всякого уравнения следует начинать с пристального, внимательного взгляда, призванного увидеть в уравнении, неравенстве и т.п. что-нибудь интересное, особенное, какую-нибудь «изюминку», позволяющую применить при решении некий нестандартный прием. Эта «изюминка» не всегда есть, но проглядеть ее обидно. В данном уравнении маленькая «изюминка» есть: если в правой части уравнения мы воспользуемся (к сожалению часто забытым абитуриентами) свойством логарифма: то сразу, как говорится, «убьем двух зайцев»: и избавимся от радикала, и перейдем к одному основанию логарифма.Итак, если r = 2, то Далее, имеем тригонометрическое уравнение Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:Решением первого уравнения совокупности является семейство: решением второго: Необходимо провести проверку найденных корней. Для этого выпишем условия, задающие область определения исходного уравнения:Ясно, что первое из найденных семейств — семейство посторонних корней, т.к. нарушено условие , а из второго семейства посторонними корнями являются корни вида: (т.к., в этом случае, хотя но ).Таким образом, корни исходного комбинированного уравнения:.Ответ: .Пример 45.Решить уравнение: Решение.Внесем множитель два в левой части уравнения под логарифм в качестве показателя степени: и перейдем к основанию логарифма пять в левой части уравнения:«Отбрасывая» логарифмы, получаем: и далее, учитывая, что и переходя к разности дробей в левой части уравнения: Это квадратное уравнение относительно ctg x, корни которого 1 и -5. Т.е. имеем совокупность: Решением первого уравнения совокупности является семейство: решением второго: Здесь применено тождество: Далее необходимо провести проверку корней. В качестве способа проверки в данном случае, изберем непосредственную подстановку в исходное уравнение. При этом ясно, что речь идет о подстановке в исходное уравнение лишь одного значения принадлежащего данному семейству. Этого достаточно. Удобнее всего, взять значения n = 0 и х = -1. Но можно поступить еще проще: в равносильности совокупностей,мы не сомневаемся, а поэтому в исходное уравнение можно подставлять непосредственно каждое из получившихся значений ctg x.В каждом случае изберем более удобный из описанных подходов.Пусть и n = 0, т.е. Тогда имеем:Таким образом, семейство: входит во множество корней исходного уравнения.Пусть теперь ctg x = -5 (здесь реализуем второй подход, ибо осуществлять непосредственную подстановку x = -arcctg 5 неудобно). Тогда, поскольку и . Далее, т.к. ctg x < 0, то sin x и cos x должны быть разных знаков; имеем: и или и . В первом случае во втором случае После подстановки в исходное уравнение имеем:Таким образом, семейство также входит во множество корней исходного уравнения.Ответ: .Пример 46.Решить уравнение: .Решение.По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений.Ответ: .Пример 47.Решить уравнение: На первом этапе решения уравнения выясним область допустимых значений и выполним тождественные преобразования:Решением уравнения является:.Ответ: .Данный прием решения тригонометрического уравнения принято называть методом разложения на множители.Пример 48.Решить уравнение: .Используем в процессе решения формулы понижения степени, получим:После приведения подобных слагаемых получаем уравнение, сводящееся к квадратному уравнению.Данное уравнение приводится к квадратному с помощью замены переменной.Пусть sin 2x = y, тогда: или Ответ: Решение большого количества тригонометрических уравнений сводится к решению квадратных уравнений.Пример 49.Решить уравнение: . или Ответ: Данный пример иллюстрирует возможность решения тригонометрических уравнений методом преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.Пример 50.Решить уравнение: Во-первых, найдем область определения функции, выходящей в данной тригонометрическое уравнение:Таким образом, областью определения данного уравнения является:Во-вторых, решим данное уравнение. Для этого выполним следующие тождественные преобразования:Ответ: .Решение тригонометрических уравнений в ряде случаев проводится преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.Пример 51.Решить тригонометрическое уравнение: .Решение.Используем в процессе решения формулы понижения степени:Выполнив замену переменных, получим: или Ответ: .Решение тригонометрических уравнений с применением формул понижения степени.Пример 52.Решить уравнение: Решение..Используем далее основное тригонометрическое тождество:Если , то и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству, значит .Разделим обе части на , получим:Ответ: .Данный пример показывает возможность решения тригонометрических уравнений как однородных уравнений. Однородное уравнение — это уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень:,где  — действительные числа, n — показатель однородности.Пример 53.Решить уравнение: Решение.Т.к. , следовательно, корни есть.Разделим обе части уравнения на , получим:.Т.к. и , то существует такой угол ?, что , а , тогда получим:Ответ: Рассмотренный прием решения тригонометрических уравнений называется методом введения вспомогательного аргумента.Данный метод основан на следующем. Рассмотрим уравнение особого вида:.Случай 1. Если с = 0, то уравнение однородное.Случай 2. Если с ≠ 0 и (то есть хотя бы одно из чисел a или b не равно 0), то разделим обе части уравнения на , получим:.Т.к. и , то существует такой угол ?, что , тогда:Пример 54.Решить уравнение: Решение.Проверим выполнение неравенства: .Очевидно, что , следовательно, корней уравнение не имеет.Ответ: .Пример 55.Решить уравнение: Выполним преобразование уравнения, используя формулы «универсальная тригонометрическая подстановка»:Получаем, что:При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уравнения.Проверка.Если , тогда:.0 + 4 (-1) = 5 — не верно, значит, , не является корнями исходного уравнения.Ответ: Данный пример показывает возможность решения тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки.Пример 56.Решить уравнение: Решение..Пусть .Далее возведем записанное равенство в квадрат и воспользуемся формулой «квадрат суммы»:Получаем, что:Разделим на cos x ≠ 0, получим:Т.к. , при , то корней нет.Ответ: .Пример 57.Решить уравнение: 2cos 2x - 4sin x + 1 = 0.Решение.Используем формулу: и сделаем замену  — посторонний корень (учитываем, что ).Выполним обратную замену: .Ответ: Пример 58.Решить уравнение: .Решение.Применим следствие из основного тождества и сделаем замену t = tg x:Найдем подбором корень t = -1 и разложим на множители левую часть полученного уравнения: (t + 1)(4t2 - t + 5) = 0. Дискриминант второго множителя отрицателен, следовательно, других корней уравнение не имеет. Обратная замена:Ответ: Приведенные приемы решения тригонометрических уравнений основаны на использовании основного тождества и формул для косинуса двойного угла.Пример 59.Решить уравнение: Поскольку , a , уравнение можно записать в виде: . Перед нами так называемое однородное уравнение, для всех слагаемых левой части которого сумма степеней sin 3x и cos 3x одинакова.Проверкой можно убедиться, что cos 3x ≠  0 для корней этого уравнения, поэтому можно разделить обе его части на . Сделаем замену: t = tg 3x, тогда . Обратная замена:Ответ: Пример 60.Решить уравнение: 5sin 4x - 12cos 4x = 6,5.Решение.Разделим обе части уравнения на 13:Пусть тогда , и уравнение принимает вид: или откуда Ответ: Пример 61.Решить уравнение: sin 4x + sin 3x + cos 6x + cos 7x = 0.Решение.Преобразуем в произведение сумму синусов и сумму косинусов:.Теперь запишем левую часть уравнения в виде:Это равенство возможно в двух случаях.Случай 1: Случай 2: Применим формулу приведения:.Тогда:Это уравнение вновь сводится к двум простейшим:Ответ: .Пример 62.Решить уравнение: Решение.Применим к левой части метод дополнительного угла:Выберем дополнительный угол так, чтобы получить в левой части формулу для косинуса разности:Случай 1: .Случай 2: Ответ: Решение примера основано на формуле преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.Пример 63.Решить уравнение: cos 9x + sin 4x sin 5x = 0.Решение.Преобразуем произведение синусов в сумму: ТогдаСлучай 1: Случай 2: Ответ: Пример 64.Решить уравнение: sin 6x + 3sin 4x cos 2x = 0.Решение.Преобразуем произведение в сумму:Воспользуемся формулой синуса тройного угла: и сделаем замену: t = sin 2x. Решим уравнение для t:Обратная замена приводит к трем простейшим уравнениям.Случай 1: Случай 2: Случай 3: Объединяя две последние группы корней, получим окончательный ответ.Ответ: Рассмотренный пример иллюстрирует использование преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.Пример 65.Решить уравнение: sin 2x - 5 + 5sin x - 5cos x = 0.Решение.Сделаем замену: t = sin x - cos x, тогда . Следовательно, sin 2x = 1 - t2.Подставим эти выражения в уравнение:1 - t2 - 5 + 5t = 0, t2 - 5t + 4 = 0, t1 = 1, t2 = 4.Очевидно, что разность синуса и косинуса не может равняться четырем, поскольку эти функции не принимают значений, модуль которых превышает 1; поэтому второй корень квадратного уравнения — посторонний. Для t = 1 сделаем обратную замену: sin x - cos x = 1. Применим метод дополнительного угла:Ответ: Пример 66.Решить уравнение: .Решение.Поскольку , представим .Кроме того, . Эти преобразования позволяют сделать замену: t = sin 4x и получить для t уравнение: — посторонний корень.Сделаем обратную замену:Ответ: Данный пример предполагает использование тождеств: Решение следующих четырех примеров основано на формулах понижения степени. Напомним, что четные степени синуса и косинуса можно понизить переходом к двойному углу с помощью следующих формул:Пример 67.Решить уравнение: Решение.Понизим степени тригонометрических функций, входящих в уравнение:Ответ: Пример 68.Решить уравнение: Решение.При понижении степени первого слагаемого оно выразится через cos 8x, поэтому у второго слагаемого мы не будем понижать степень, а вместо этого применим к нему основное тождество:Ответ: Пример 69.Решить уравнение: Решение.Преобразуем разность четвертых степеней: cos 4x = sin x и применим формулу приведения:Ответ: Пример 70.Решить уравнение: Решение.Выразим через : .Ответ: Пример 71.Решить уравнение: Решение.Понизим степень в левой части уравнения, а в правой преобразуем произведение в сумму:
 — посторонний корень.Обратная замена: Ответ: Пример 72.Решить уравнение: 20tg 8x + 15sin 8x + 2tg 4x = 0.Решение.Используем универсальную подстановку:Случай 1: Случай 2:  — постороннее решение.Тогда Ответ: Пример 73.Решить уравнение: Решение.Обратим внимание на то, что левую часть уравнения с помощью одной из формул универсальной подстановки можно представить как: — посторонний корень.Обратная замена:Ответ: Уравнения, содержащие комбинации удобно решать, переходя к синусам и косинусам.Пример 74.Решить уравнение: 8sin 2x + 3 (tg x + ctg x) - 16 = 0.Решение.Преобразуем сумму тангенса и котангенса:Теперь можно сделать замену: — посторонний корень.Обратная замена:Ответ: Пример 75.Решить уравнение: .Решение.Вновь выразим левую часть равенства через функции двойного угла:Теперь уравнение принимает вид:Случай 1: Случай 2: Ответ: При решении тригонометрических уравнений (группа С) используются те же приемы, что и при решении алгебраических иррациональных уравнений. Особое внимание требуется обращать на дополнительные ограничения на допустимые значения неизвестного (самая распространенная ошибка в задачах этого типа — включение в ответ посторонних корней).Пример 76.Решить уравнение: Решение.ОДЗ задается неравенством: Возведем обе части в квадрат:Замена приводит к уравнению: — посторонний корень.Обратная замена:Ответ: Пример 77.Решить уравнение: Решение.Обратим внимание на то, что подкоренное выражение представляет собой полный квадрат: , следовательно,Сделаем замену: t = sin 3x + cos 3x, тогда |t| = 3 - 2t.Случай 1: Случай 2:  — посторонний корень (не соответствует условию раскрытия модуля).Итак, .Ответ: .Пример 78.Решить уравнение: Решение.Ограничение на ОДЗ: то есть . Учитывая это условие, приравняем каждый множитель к нулю.Случай 1:  — посторонний корень.Следовательно, Этим условиям удовлетворяют углы вида (вторая группа решений тригонометрического уравнения определяет углы, лежащие в четвертой четверти, тангенс которых равен ).Случай 2: Ответ: Для решения тригонометрических уравнений с модулями применяются те же приемы, что и для алгебраических уравнений с модулями.Пример 79.Решить уравнение: sin 3x + |sin x| = 0.Решение.Во-первых, .Во-вторых, .Ответ: Пример 80.Решить уравнение: |sin 12x| + |sin 18x| = 0.Решение.Сумма модулей может равняться нулю только в том случае, если при одном и том же значении х оба подмодульных выражения равны нулю. Следовательно, нужно найти общие корни двух уравнений:Принципиально важно то, что в решениях указаны разные целочисленные параметры. Для общих корней должно выполняться равенство откуда Поскольку n — целое число, дробь должна быть сократимой, а это возможно только если k кратно трем, то есть . Тогда решение уравнения можно записать так:Ответ: Рассмотрим далее тригонометрические уравнения с конечным числом корней. Эти уравнения очень необычны, и конечное число решений связано с тем, что аргумент тригонометрической функции принимает значения из некоторого конечного промежутка.Пример 81.Решить уравнение: Решение.Найдем множество значений функции Очевидно, что Исследуем ее на экстремум. при х = 0 — найдена критическая точка.Слева от нее справа то есть это точка максимума. Так как он является единственным экстремумом, то при х = 0 функция принимает свое наибольшее значение: f (0) = 5.Следовательно, Решим простейшее тригонометрическое уравнение: Из предыдущего исследования получаем, что равенство возможно только при условии откудаДействительно, это единственное целочисленное решение такого неравенства. ТогдаОтвет: .В следующем примере рассмотрим комбинированные задачи, в которых применяются известные из алгебры методы решения систем и способы решения тригонометрических уравнений. Важно помнить, что при решении системы ответ каждого простейшего уравнения должен записываться с новым целочисленным параметром, который может принимать любое возможное значение независимо от ранее введенных параметров.Пример 82.Решить систему уравнений: Решение.Применим метод алгебраического сложения: перейдем к системе, уравнениями которой будут сумма и разность исходных уравнений..Вновь сложим и вычтем полученные уравнения:Ответ: Пример 83.Решить систему уравнений: .Решение.Используем подстановку из второго уравнения: .Применим формулу приведения:Ответ: .Пример 84.Решить систему уравнений: Решение.Вычтем первое уравнение из второго и применим формулу .Случай 1: cos 4y = 1, тогда из второго уравнения , то есть cos 4x = 0. Получена система двух простейших уравнений:Случай 2:  Решая полученную систему простейших уравнений, находим вторую группу корней:Еще раз напомним, что решение каждого уравнения системы содержит свой целочисленный параметр (решением будет каждая пара чисел, заданная полученными формулами, в которых мы можем задавать n и k любые целые значения, не обязательно одинаковые).Ответ:  Видеолекция «Комбинированные уравнения»:
Перейти к выполнению теста: Тест. Комбинированные уравнения
В начало