Вероятности событий
.Основные понятия теории вероятностейСлучайное событие (событие) — это некоторое множество (набор) элементарных событий (исходов), которые являются результатом случайного опыта (эксперимента).Элементарное событие (исход) — это событие, которое нельзя разделить на более простые события.Пример элементарного события: при одном бросании игральной кости выпало четыре очка.Пример случайного события: при одном бросании игральной кости выпало четное число очков. Данное событие можно разбить на элементарные события: «выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков».Мы будем рассматривать только случайные опыты (например, бросание игральной кости, раздача игральных карт, розыгрыш лотереи, бросание монеты и т.д.), результатом которых являются элементарные события, шансы которых одинаковы. Такие элементарные события называются равновозможными.Вероятностью случайного события называют число, выражающее шансы наступления этого события (числовая мера его правдоподобия). Это число равно отношению числа опытов, в которых событие А произошло, к общему числу проведенных равновозможных опытов:
Рассмотрим примеры.Событие G «Лампочка никогда не перегорит» — невозможное событие, его вероятность 0.Событие Q «Летом пойдет снег» — практически невозможное, его вероятность ближе к 0.Событие Z «Завтра я найду на улице миллион рублей» — маловероятное.Событие М «Бутерброд падает всегда маслом вниз» — случайное событие, его вероятность 1/2, как и вероятность выпадения герба при бросании монеты (Событие N).Событие А «Лампочка рано или поздно перегорит» — достоверное событие, с вероятностью 1.Событие В «Зимой бывает снег» — достоверное, его вероятность близка к 1.Посмотрим, как будут данные события располагаться на вероятностной шкале:
Замечание 1. Если число равновозможных событий равно N, то вероятность каждого из них 1/N.Замечание 2. Если результат случайного эксперимента — три элементарных события a, b, c, а вероятности этих событий Р(a), Р(b), Р(c), то сумма вероятностей всех элементарных события в каждом опыте равна 1, т.е. Р(a) + Р(b) + Р(c) = 1.Пусть случайное событие А состоит из элементарных событий. Эти элементарные события называют благоприятствующими случайному событию А. Все прочие элементарные события данного опыта, не благоприятствующие событию A, в совокупности представляют новое событие, не благоприятствующее событию А, которое называется событием противоположным событию А 
. События А и называют взаимно противоположными событиями.Замечание 3. Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое-либо из них происходит обязательно. Поэтому 
Пример 1.Студент не успел выучить 3 билета из 30. Какова вероятность, что он сдаст экзамен?РешениеПервый способПо определению вероятности: 
, где k — число благоприятных событий (исходов), n — общее число событий (исходов).k = 30 — 3 = 27, n = 30. Тогда искомая вероятность р = 27 / 30 = 0,9.Второй способ3 / 30 = 0,1 — вероятность, что студент не сдаст экзамен, тогда вероятность, что сдаст 1 — 0,1 = 0,9.Ответ: 27 / 30 = 0,9.Пример 2.Какова вероятность, стоя с закрытыми глазами перед географической картой мира, выбрать точку на суше, показав на нее указкой, если площадь суши 149,1 млн км2, а площадь океанов 361,1 млн км2?РешениеНадо знать, какую часть всей площади Земли занимает суша. 149,1 + 361,1 = 510,2 млн км2. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность: 149,1 : 510,2 = 0,29.Геометрическое определение вероятности
, где G — произвольная область, А — любая подобласть области G.Пример 3.В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?РешениеЗакрасим голубым цветом множество точек квадрата, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата равна 16 см2 — 4 см2 = 12 см2. Отсюда искомая вероятность будет 
Операции с вероятностями1. Сложение вероятностей.Событие 
наступает, если наступают оба события А и В одновременно.Пусть А и В — два события одного случайного опыта. Рассмотрим те элементарные события, которые благоприятствуют событию А, и те элементарные события, которые благоприятствуют событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию, которое называется объединением событий А и В.Событие 
наступает, если наступает хотя бы одно из событий А или В. Это означает, что наступает либо А, либо В, либо А и В вместе.Пусть А и В — два события одного случайного опыта. Рассмотрим элементарные события, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию, которое называется пересечением событий А и В.Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта. Такие события называют несовместными (взаимоисключающими), а их пересечение — пустое событие.Пример 4.Мишень представляет три области. Для данного стрелка вероятность попасть в первую область 0,15, во вторую — 0,25, в третью — 0,4. а) Какова вероятность стрелку попасть с первого выстрела в какую-нибудь из трех областей? б) Какова вероятность промазать с первого выстрела?Решениеа) Одновременно попасть в две (три) области при одном выстреле нельзя, т.е. имеем дело с несовместными событиями, поэтому Р = Р1 + Р2 + Р3 = 0,15 + 0, 25 + 0,4 = 0,8.Ответ: 0,8б) Событие «промазать» противоположно событию «попасть куда-нибудь». Поэтому 
Ответ: 0,2.Пример 5.Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпало разное число очков?РешениеПервый способСобытие А состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Событие В состоит в том, что во второй раз выпало больше очков, чем в первый.Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (15 штук ) розовым цветом, а В (15 штук) — голубым. Общее число элементарных событий 36. Р(А) = Р(В) = 15 / 36 = 5 / 12.
Общих элементарных событий у событий А и В нет, т.е. события А и В несовместны, тогда:
Второй способОбозначим 
событие «оба раза выпало одинаковое число очков», являющееся противоположным событию . Ему соответствуют 6 незакрашенных ячеек таблицы.
Тогда 
Ответ: 5/6.Пример 6.Бросают две правильные игральные кости. Какова вероятность, что на обеих выпало число очков меньше трех?РешениеСобытие А состоит в том, что «на первой кости выпало меньше 3 очков», а событие В, что «на второй кости выпало меньше 3 очков».Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (12 штук) розовым цветом, а В (12 штук) — голубым, а события, благоприятствующие и А, и В (4 штуки) — зеленым. Общее число элементарных событий 36.
Р(А) = Р (В) = 12 / 36 = 1 / 3, 
.Очевидно, что 1/3 + 1/3 ≠ 5/9, т.к. события А и В не являются несовместными, у них есть общие элементарные события. Поэтому используем формулу:
Ответ: 5/9.2. Умножение вероятностей.Случайный выбор — это выбор наудачу одного предмета из группы предметов.Выбор наудачу — это разновидность случайного опыта с равновозможными элементарными событиями. Элементарным событием в таком опыте является извлечение одного предмета из группы. Если в группе N предметов, то каждый из них может быть выбран с вероятностью 1/N. После выбора одного предмета случайный выбор можно продолжить, выбрав второй, третий и т.д. предметы или сразу взять наудачу нужное количество предметов. Собранную таким образом группу называют случайной выборкой.Независимые события — это события, которые не связаны друг с другом, т.е. по наступлению одного из них нельзя судить о вероятности другого. Например, при бросании двух костей результат бросания первой кости не влияет на результат бросания второй.Если события А и В независимы, то 
Пример 7.Какова вероятность, что при бросании двух игральных костей выпадут две шестерки?РешениеПусть событие А — «на первой кости выпала шестерка», событие В — «на второй кости выпала шестерка», заметим, что Р(А) = Р(В) = 1/6. Общее число элементарных событий 36. Выпадение двух шестерок — новое событие, являющееся пересечением независимых событий А и В. 
Получаем, что 
Ответ: 1/36.Пример 8.Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что на первой кости выпало более трех очков, а на второй — менее трех?РешениеСобытие А состоит в том, что «на первой кости выпало более 3 очков», а событие В, что «на второй кости выпало меньше 3 очков».
Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (18 штук) розовым цветом, а В (12 штук) — голубым, а события, благоприятствующие и А и В (6 штук) — зеленым. Общее число элементарных событий 36.
Т.к. события А и В независимые, то 
Ответ: 1/6.Пример 9.Какова вероятность выпадения трех шестерок подряд при бросании кости?РешениеРезультат первого бросания кости не влияет на результат второго и третьего, поэтому все события независимы. Вероятность выпадения шестерки при одном бросании кости равна 1/6, двух шестерок при двух бросаниях 1/6 ∙ 1/6 = 1/36, а вероятность выпадения трех шестерок при трех бросаниях 1/6 ∙ 1/6 ∙ 1/6 = 1/216.Ответ: 1/216.Пример 10.Какова вероятность выпадения третьей шестерки при бросании кости, если две шестерки выпали только что?РешениеВероятность события «выпадение двух шестерок подряд» равна 1/36. Это событие уже осуществилось! Поэтому, чтобы получить три шестерки подряд, достаточно одной шестерки. Вероятность этого равна 1/6, а не 1/216.Ответ: 1/6.Пример 11.Бросают две игральных кости. Какова вероятность, что только на одном из кубиков выпадут шесть очков?РешениеПусть событие А — «на первой кости выпала шестерка», событие В — «на второй кости выпала шестерка», заметим, что Р(А) = Р(В) = 1/6. Общее число элементарных событий 36. По условию должна выпасть только одна шестерка, значит нам надо исключить выпадение двух шестерок одновременно — событие, являющееся пересечением независимых событий А и В.
Тогда искомая вероятность Р = 1/6 + 1/6 — 1/6 ∙ 1/6 = 11/36Ответ: 11/36.Задачи по теории вероятностей, входящие в сборники для подготовки к ЕГЭПример 12.В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.РешениеВсего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.Ответ: 0,6Пример 13. (Демо-вариант 2012)В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достается один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.РешениеОчевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25, то есть 0,92.Ответ: 0,92Пример 14.Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вовочке достанется пазл с животным.РешениеЗадача решается аналогично № 12.Ответ: 0,6.Пример 15.В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.РешениеДавайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая — 5 спортсменок).Ответ: 0,25.Пример 16.Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число, кратное пяти?РешениеКаждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.Второй способ: 20 / 100 = 1/5Ответ: 0,2Пример 17.Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.Решение1, 3, 5 — нечетные числа; 2, 4, 6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 3/6 = 1/2.Ответ: 0,5.Пример 18.Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?РешениеЗаметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три монеты одновременно. Если бросить одну монету, получим два возможных исхода: орел и решка. Три монеты — 8 исходов, так как 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23 = 8. Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.Ответ: 3/8 = 0,375.Пример 19.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.РешениеПри бросании двух игральных костей — всего 36 возможных исходов. Благоприятных исходов пять: 2 6, 3 5, 4 4, 5 3, 6 2. Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,14.Ответ: 0,14.Пример 20.Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,9. Найдите вероятность того, что он попадет в цель четырьмя выстрелами подряд.РешениеРезультат первого попадания не влияет на результат второго попадания, значит, данные события независимы. Вероятность двух попадания подряд равна 0,9 ∙ 0,9 = 0,81. А вероятность четырех попаданий подряд равна 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,9 = 0,6561.Ответ: 0,6561Пример 21.В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя не глядя переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.РешениеКодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублевые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублевые). Условие задачи можно теперь сформулировать так.Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?Запишем, что у нас в первом кармане. Для этого составим все возможные комбинации из набора 1 2 3 4 5 6. Набор из трех фишек будет трехзначным числом. Очевидно, что в наших условиях 1 2 3 и 2 3 1 — это один и тот же набор фишек. Чтобы ничего не пропустить и не повториться, располагаем соответствующие трехзначные числа по возрастанию:- 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156,234, 235, 236, 245, 246, 256,345, 346, 356,456.
- Р1 = 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,1 = 0,081 — вероятность, что студент знает 1-й и 2-й, а 3-й не знает.Р2 = 0,9 ∙ 0,1 ∙ 0,9 = 0,081 — вероятность, что студент знает 1-й и 3-й, а 2-й не знает.Р3 = 0,1 ∙ 0,9 ∙ 0,9 = 0,081 — вероятность, что студент знает 2-й и 3-й, а 1-й не знает.Р4 = 0,9 ∙ 0,9 ∙ 0,9 = 0,729 — вероятность, что студент знает и 1-й, и 2-й, и 3-й вопросы.
