Объем цилиндра, конуса, шара
- Цилиндр
(R — радиус основания, H — высота):V = 
R2H; Sб = 2RH; Sпп = 2R(R + H). - Конус (R — радиус основания, L — образующая, h — высота конуса):Sб = RL; Sпп = R2 + RL = R(R + L); V = R2h/3.
- Усеченный конус (R1 и R2 — радиусы оснований; L — образующая, h — высота конуса):Sб ус = L(R1 + R2); Sпп ус = (R1L + R2L + R22 + R22); Vус = h(R12 + R22)/3.
- Шар (R — радиус): Sб =4R2; V = 4R3/3.
- Шаровой сегмент (R — радиус шара, h — высота сегмента, r — радиус основания сегмента):Vсегм = h2(R – h/3) или Vсегм = h(h2 + 3r2)/6; Sсегм =2Rh.
- Шаровой сектор (R — радиус шара, h — высота сегмента):
,«+» — если сегмент меньше, «-» —если сегмент больше полусферы. - Шаровой слой (R1 и R2 — радиусы оснований шарового слоя; h — высота шарового слоя или расстояние между основаниями): V = h3/6 + h(R12 + R22)/2; S = 2Rh.
Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9. Следовательно, объем детали равен 9 - 6 = 3.Ответ: 3.Пример 2.Плоскости, параллельные основанию цилиндра, разбили его на три цилиндра, объемы которых относятся как 1:2:3. Определить, в каком отношении эти плоскости разделили площадь боковой поверхности этого цилиндра.Решение.V = R2H — объем цилиндра, Sб = 2RH — площадь боковой поверхности цилиндра. Заметим, что и объем и площадь линейно зависят от высоты цилиндра H. Следовательно, объемы цилиндров, имеющих одинаковые радиусы, относятся, как 1:2:3. Поэтому и площади боковых поверхностей этих цилиндров относятся как 1:2:3.Ответ: 1:2:3.Пример 3.Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 45°. Найти объём цилиндра.Решение.
Так как угол между диагональю и высотой тоже равен 45°(180 - 90 - 45 ), то 
АВС равнобедренный и высота цилиндра равна его диаметру.По теореме Пифагора: d2 + d2 = 122 ; 2d2 = 144; d2 = 72; d = 6
= H, r = 3.Тогда объем цилиндра V = R2H; V = (3)26 = 108.Ответ: 108.Пример 4.Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 4. Вычислить объем цилиндра.Решение.Пусть сторона квадрата a. По теореме Пифагора: a2 + a2 = (4)2 ; 2a2 = 32; a2 = 16; a = 4.Тогда R = 2, H = 4. Объем цилиндра: V = R2H; V = 224 = 16.Ответ: 16.Пример 5.Какой из цилиндров с объемом 128 см3 имеет наименьшую полную поверхность?Решение.Формула нахождения объема цилиндра V = r2hПодставим значение объема цилиндра в формулу: r2 h = 128; r2h = 128; h = 128 / r2 Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу площади полной поверхности цилиндра:Sпп =2r2 + 2rhSпп = 2r2 + 2r·128 / r2Sпп = 2r2 + 256 / rПредставим полученную формулу как функцию площади поверхности цилиндра от радиуса S(r) = f(r) . Минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию: f(r) = 2r2 + 256 / r .f '(r) = 4r - 256 / r2В точке экстремума производная функции равна нулю: f '(r)= 0.4r - 256 / r2 = 0;4(r3 - 64) / r2 = 0;4(r - 4)(r2+ 4r + 16) / r2 = 0;f’ = 4(r - 4)(r2+ r + 16) / r2f’ = 0 при r = 4.
Тогда h = 128 / r2;h = 128 / 16 = 8.Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 8 см, r = 4 см.КонусПример 6.Объем конуса равен 27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.Решение.
Треугольники AOB и COD подобны. Из условия задачи определим коэффициент подобия как k =2 / 3.Объем конуса: Vк = R2h / 3 = 27 (по условию), R2h = 81.Объем малого конуса: Vмк = (2 / 3R)2(2 / 3h) / 3;Vмк = R2h·4 / 9·2 / 9; Vмк = R2h·8 / 81= 81·8 / 81 = 8.Ответ: 8.Пример 7.Объем цилиндра равен 48 см3. Найти объем конуса, радиус основания которого равен радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра.Решение.
Учитывая h= H / 2, объем конуса: Vк = R2h / 3 = R2H / 6.Подставим в формулу объема конуса значение объема цилиндра: Vц = R2H = 48.Получим: Vк =48/6 = 8 см3.Ответ: 8.ШарПример 8.Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.Решение.
Площади поверхностей данных шаров равны 4 · 36 и 4 · 64. Их сумма равна 4 · 100. Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10.Ответ: 10.Пример 9.Найти объем шарового сектора, если радиус окружности его основания r = 60 см, а радиус шара R = 75 см.Решение.
V = Vсегм + Vкон = h2(R – h / 3) + r2(R - h)/3.Рассмотрим осевое сечение шара. В прямоугольном ОВК: ОВ = ОС = 75 см, КВ = 60 см. По теореме Пифагора: 
см.Высота шарового сегментаСК = СО - ОК = 75 – 45 = 30 см.Объем шарового сектора:V = 302(75 – 30 / 3) + 602(75 – 30) / 3; V= 58500 + 54000 = 112500 см3.Ответ: 112500 см3.Пример 10.Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найти диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см3).Решение.Плотность 
= 7,2 г/см3 = 7200 кг/м3. Объем шара:V = m / = 10 / 7200 = 1 / 720 (м3). С другой стороны объем шара V = 4R3 / 3 илиV = 4d3 / 6.Тогда 
Ответ: 0,14.Пример 11.Площади поверхностей двух шаров относятся как m:n. Как относятся их объемы?РешениеПлощадь поверхности шара и объем находят по формулам:Sб = 4R2; V = 4R3 / 3.Тогда, если S1 : S2 = 4R12 : 4R22 = m:n, то 
Ответ: (m:n)3/2 .Комбинации телПример 12.В цилиндр вписаны шар и конус, причём высота цилиндра равна диаметру его основания. Найти отношение объёма конуса:- а) к объёму шара,б) к объёму цилиндра.
Найти:- а) Vкон : Vш -?б) Vкон : Vц -?
R2h / 3; Vш = 4R33 / 3 ; Vц = R2H.Высоты цилиндра и конуса равны диаметру шара: h = 2R.Vкон = R2h / 3 = R22R / 3 = 2R3/3Vц = R2h = R22R = 2R3Тогда Vкон : Vш =2R3 / 3 : 4R3 / 3 = 2/4 = 1/2Vкон : Vц = 2R3 / 3 : 2R3 = 1/3.Ответ: а) 1/2, б) 1/3.Список используемой литературы Видеолекция «Объемы тел вращения»: 
