Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы
Основные формулыЦилиндрПример 1.Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота — h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если r = 9 дм, d = 7дм, AB = 12 дм.Решение.Sб = 2rh. Для решения задачи надо найти высоту h = BD.Через точку А, лежащую на окружности основания с центром в точке О, проведем образующую. Пусть она пересекает окружность основания с центром в точке О1 в точке С. Плоскость АВС параллельна оси ОО1 цилиндра, поэтому расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно расстоянию от оси до плоскости АВС, т.е. опущенный перпендикуляр ОР = d.Из прямоугольного ОАР находим DОA — равнобедренный, поэтому Из прямоугольного ABD находим Тогда площадь боковой поверхности цилиндра Sб = 2RH = 2·9·4 = 72.Ответ: 72.Пример 2.Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найти площадь его осевого сечения.Решение.В этой задаче чертеж не обязателен. Площадь боковой поверхности цилиндра равна Sб = 2RH, а площадь осевого сечения Sсеч = 2RH.По условию 2RH = S, отсюда 2RH = S/.Ответ: S/.Пример 3.Рассматриваются все цилиндры, имеющие периметр осевого сечения, равный 2р. Найти высоту того цилиндра, который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.Решение.
  1. Обозначим r и h радиус и высоту цилиндра, периметр осевого сечения которого равен 2р. Тогда 2r + h = р2r = р - h.
  2. Площадь боковой поверхности цилиндра выразим по формулеS = 2rh = h(р - h) = (рh - h2), где 0 < h < p.Величина S меняется в зависимости от h и , следовательно, является функцией h, при условии 0 < h < p. В нашем случае функция площадь боковой поверхности является квадратичной функцией от h. Из свойств квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом следует, что такая функция достигает своего наибольшего значения при h = [x = -b/2a]= -р/(-2) = р/2.
  3. Итак, при заданном периметре осевого сечения, наибольшую площадь боковой поверхности будет иметь тот цилиндр, у которого высота равна четверти периметра осевого сечения.
Ответ: h = р/2.Замечание. Посмотрим, как относятся высота и диаметр цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, при заданном периметре осевого сечения. Мы знаем, что высота h такого цилиндра равна четверти периметра осевого сечения, т.е. h = р/2. Подставим это значение в равенство 2r + h = р. Получим 2r + р/2 = р; р/2 = 2r, т.е. 2r = h. Следовательно, осевое сечение цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, при заданном периметре осевого сечения, — квадрат.Пример 4.Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.Решение.Поскольку AC = 8 см, а ACD = 30°, тоCD = AC cos 30°,СD = 8· /2 = 4Аналогично,AD = AC sin 30°,AD = 8 · 1/2 = 4 .Откуда радиус основания цилиндра равенR = AD/2 = 4/2 = 2 см.Площадь основания цилиндра, соответственно, равна Sо = R2 = 4 см2.Площадь боковой поверхности цилиндра: Sб = 2Rh = 2 · 2 · 4 = 16 см2.Площадь полной поверхности цилиндра равна:Sпп = 2Sо + Sб = 2·4 + 16 = 8 + 16 см2.Ответ: 8 + 16.Конус.Пример 5.Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса.Решение.Для нахождения площади полной поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: Sб = RL, Sо =R2, Sпп = Sб + Sо .Поскольку высота конуса h, радиус основания конуса R и образующая L являются сторонами прямоугольного треугольника, тоL2 = h2 + R2Ответ: 300 .Пример 6 .Площадь основания конуса 36 см2 , а его образующая 10 см. Вычислить боковую поверхность конуса.Решение.Зная площадь основания, найдем его радиус.S = R2 ; 36 = R2 ; R2 = 36 ; R = 6 см.Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле: Sб = RLSб = ·6·10 = 60 см2.Ответ: 60 см2 .ШарПример 7.Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость? Решение.Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы. Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус: L = 2R R = L / 2; R = 46 / 2; R = 23/.Тогда площадь основания равна Sо = R2 или Sо = (23/)2 ; Sо = 529 / .Площадь сферы найдем по формуле: Scф = 4R2 .А площадь полусферы Sп/сф = 4R2/ 2 или Sп/сф = 2 (23/)2 ; Sп/сф = 1058 / .Общая площадь поверхности фигуры равна:Sпп = Sо + Sп/сф = 529 / + 1058 / = 1587/ см2.Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах,то есть 1 м2 = 10 000 см2).1587 / · 300 / 10 000 = 47,61 / 15,15 г .Ответ: 15,15.Комбинации тел вращенияПример 8.В сферу вписан конус, образующая которого равна L, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы.Решение.Площадь сферы найдем по формуле: S = 4r2 . Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60°, то треугольник — равносторонний (сумма углов треугольника — 180°, значит остальные углы ( 180-60 )/ 2 = 60°, то есть все углы равны ).Заметим, что радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна L, тогда по формуле an = 2Rsin (180°) / n получим R = L / (2sin60) = L /3.Таким образом площадь сферы S = 4(L /3)2, S = 4L2/3.Ответ: 4L2/3.Пример 9.Отношение поверхности шара, вписанного в конус, к площади основания конуса равно k. Найти косинус угла между образующей конуса и плоскостью его основания и допустимые значения k.Дано: Sш / Sо кон = k. Найти cosSAO = cos.Решение.Изобразим осевое сечение конуса. Обозначим ОО1 = х, О1АО = /2.О1АО: tg(/2) = x/ОА ОА = х ·сtg(/2).Отсюда следует (т.к.  — острый угол), что 0 < k < 4.Ответ: 0 < k < 4.Список используемой литературы Видеолекция «Площадь поверхности тел вращения»:
Перейти к выполнению теста: Тест. Площадь поверхности тел вращения
В начало