Математика: Сечение куба, призмы, параллелепипеда

Способы задания плоскости:

тремя точками, не лежащими на одной прямой;
прямой и точкой, не лежащей на прямой;
двумя параллельными прямыми;
двумя пересекающимися прямыми.

Варианты расположения относительно друг друга многогранника

и плоскости

.Задача состоит в построении пересечения двух фигур

: многогранника и плоскости (рис. 1

). Это могут быть: пустая фигура (а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г).Если пересечение многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника плоскостью

.

Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной?Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Какие фигуры получаются в сечении треугольной пирамиды плоскостью?Ответ: точка, отрезок, треугольник, четырехугольник.

Какие фигуры получаются в сечении куба плоскостью?Ответ: точка, отрезок, треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.

Может ли в сечении пирамиды плоскостью получиться а) пятиугольник, б) шестиугольник?Ответ: а) и б) — нет.

Чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью?Ответ: наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.

Построить сечение (PQR) параллелепипеда. Все точки лежат на ребрах двух смежных граней.

Построение:

1) Строим PQ и QR;

2) PQ ∩ BA = F, PQ ∩ BB' = G;

3) GR ∩ CC' = H, GR ∩ BC = M;

4) FM ∩ AD = N, FM ∩ DC = K;

5) PQRHKN — искомое сечение.

Построить сечение параллелепипеда (MLK). Точки K и L лежат на ребрах нижнего основания AB и CB соответственно, а точка М принадлежит боковому ребру DD'.

Построение:

1) KL ∩ DC = X1;

2) MX1 ∩ CC' = Y;

3) LK ∩ AD = X2;

4) MX2 ∩ AA' = P;

6) LYMPK — искомое сечение.

Построить сечение параллелепипеда (XYZ) методом следов, если точки X, Y, Z лежат на трех смежных гранях.

Построение:

1) ZZ1 || YY1 || XX1;

2) XY ∩ X1Y1 = Q;

3) YZ ∩ Y1Z1 = S;

4) QS — след;

5) DA ∩ QS = T;

6) XT ∩ AA' = U, XT ∩ A'D' = N;

7) CB ∩ QS = V;

8) ZV ∩ BB' = W, ZV ∩ C'B' = H;

9) HNUW — искомое сечение.

Построить сечение (M, d) призмы. Точка М принадлежит верхнему основанию, прямая d лежит в плоскости нижнего основания.

Построение:

1) Через точку М проведем прямую n || d;

2) n ∩ B'C' = S, n ∩ E'D' = Q;

3) CB ∩ d = X, BA ∩ d = Y, DE ∩ d = Z;

4) SX ∩ BB' = N;

5) QZ ∩ EE' = T;

6) NY ∩ AA' = P;

7) SNPTQ — искомое сечение.

Построить (M, d) сечение призмы. Точка М принадлежит боковому ребру, прямая d лежит в плоскости нижнего основания.

Построение:

1) CB ∩ d = X, EA ∩ d = Y, DE ∩ d = Z, BA ∩ d = H;

2) MZ ∩ EE' = N, MZ ∩ DD' = T;

3) NY ∩ AA' = G;

4) GH ∩ BB' = P;

5) PX ∩ CC' = S;

6) PSTNG — искомое сечение.

Построить сечение (MNK), если М принадлежит грани ВВ'С'С, а N и K лежат на ребрах A'D' и AB соответственно.

Построение:

1) N' — проекция N, M' — проекция M;

2) NM ∩ N'M' = X;

3) KX ∩ BC = T, KX ∩ DA = Y;

4) TM ∩ CC' = H, TM ∩ B'C' = Z;

5) ZN ∩ C'D' = P;

6) NY ∩ AA' = F;

7) THPNFK — искомое сечение.

Ребро куба равно a. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через середины ребер АА₁, AD и A₁B₁.

РешениеОбозначим названные в условии середины ребер соответственно через M, P, K.Продолжим отрезок MK до его пересечения в точках T и E с продолжениями ребер BB₁ и BA. Через точки E и P проведем прямую до ее пересечения в точке S с продолжением ребра BC. Наконец, проведем прямую через точки S и T. В итоге получается сечение куба в виде многоугольника с вершинами в точках K, M, P, L, F, H. Заметим, что противоположные стороны этого многоугольника параллельны, так как лежат на пересечении параллельных граней плоскостью сечения.Из равенства треугольников KB₁T, KA₁M и MAE следует, что

, а из равенства треугольников AEP и PDL можно заключить, что

. Поэтому BT = BS и

.Отсюда следует, что точки H и F — середины ребер куба, из чего в свою очередь следует, что каждая из сторон многоугольника в сечении куба равна

.Так как AM = AP = AE, то треугольник равносторонний, и

Поэтому

. По тем же причинам каждый из остальных углов сечения равен 120°.Итак, сечение куба представляет правильный шестиугольник со стороной, равной

.По формуле площади правильного шестиугольника (

, где b — длина стороны) находим, что искомая площадь равна:

.Ответ:

(кв. ед.)

Найти площадь сечения прямоугольного параллелепипеда А…D₁, проходящего через середины M, N, L ребер AD, DC, CC₁ соответственно, если АА₁ = 1, АВ = 2, AD = 3.Решение:Построение сечения:

1) MN ∩ BC = T, MN ∩ AB = S;

2) TL ∩ B₁C₁ = M₁, TL ∩ BB₁ = Q;

3) SQ ∩ AA₁ = L₁, SQ ∩ A₁B₁ = N₁;

MNLM₁N₁L₁ — искомое сечение.

Площадь данного сечения будем искать по формуле площади проекции: S_сеч = S_пр / cosα, где α — угол между плоскостью сечения и ABCD.При этом в силу симметрии сечения, будем искать только половину площади проекции. Т.е. АСMN — проекция MNLL₁.

½S_пр = S_ACMN = S_ADC — S_MDN = 0,75S_ADC = ¾ · ½ AD · DC = ¾ · ½ 6 = 2,25.Тогда вся проекция имеет площадь S_пр = 4,5.При определении угла α ошибочно считают, что это угол

.Проведем

, тогда

.Имеем

Тогда

. Теперь окончательно находимS_сеч = S_пр / cosα = 4,5 : 6/7 = 63/12 = 21/4 = 5,25.Ответ: 5,25.