Задачи на движение
, скорости постоянны в течение определенных промежутков времени, не меняются при поворотах и т. д., движущиеся тела считаются материальными точками (если не оговорено противное), т.е. не имеющими размеров и массы (вернее, их размеры и масса несущественны для решения задачи).Основные типы задач на движение:- 1) задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку),2) задачи на движение по замкнутой трассе,3) задачи на движение по воде,4) задачи на среднюю скорость,5) задачи на движение протяженных тел.
Пусть прошла 1 минута. Как изменилось положение объектов: 
Видим, что расстояние между объектами сократилось на 15 + 10 = 25 метров. Таким образом, объекты сближаются со скоростью, равной сумме их скоростей. Значит, время их встречи равно 
(мин).Если расстояние между двумя телами равно s, а их скорости v1 и v2, то время t, через которое они встретятся, находится по формуле
Пример 2.Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.Решение: 
Через час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало равно 435-60 = 375 (км), поэтому автомобили встретятся через время
(ч).Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 4 часа и проедет 60 · 4 = 240 (км).Ответ: 240.Движение вдогонкуПример 3.Рассмотрим два объекта, один из которых догоняет другой, с указанными на рисунке скоростями. 
Пусть прошла 1 минута. Как изменилось положение объектов: 
Видим, что расстояние между объектами сократилось на 15 – 10 = 5 метров. Т.е. объекты сближаются со скоростью, равной разности их скоростей. Значит, время, за которое первый объект догонит другой, или время их встречи равно
(мин).Если расстояние между двумя телами равно s, и они движутся по прямой в одну сторону со скоростями 
и 
соответственно 
так, что первое тело следует за вторым, то время t, через которое первое тело догонит второе, находится по формуле 
.Пример 4.Два пешехода отправляются в одном направлении одновременно из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?Решение: 
Время t в часах, за которое расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам, т. е. 0,3 км, находим по формуле
(ч).Следовательно, это время составляет 12 минут.Ответ: 12.Движение по окружности (замкнутой трассе)Пример 5. Рассмотрим движение двух точек по окружности длины L в одном направлении при одновременном старте со скоростями и и ответим на вопрос: через какое время первая точка будет опережать вторую ровно на один круг? Считая, что вторая точка покоится, а первая приближается к ней со скоростью – , получим, что условие задачи будет выполнено, когда первая точка поравняется в первый раз со второй. При этом первая точка пройдет расстояние, равное длине одного круга, и искомая формула ничем не отличается от формулы, полученной для задачи на движение вдогонку: 
Итак, если две точки начинают движение по окружности в одну сторону со скоростями и соответственно , то первая точка приближается ко второй со скоростью - и в момент, когда первая точка в первый раз догоняет вторую, она проходит расстояние на один круг больше.Пример 6.Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.Решение:Пусть скорость второго автомобиля х км/ч. Поскольку 40 минут составляют 2/3 часа и это — то время, за которое первый автомобиль будет опережать второй на один круг, составим по условию задачи уравнение 
, т.е. х = 59 (км/ч).Ответ: 59.Движение по водеВ задачах на движение по воде скорость течения считается неизменной. При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела, при движении против течения — вычитается из скорости тела. Скорость плота считается равной скорости течения.Пример 7.Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?Решение: Пусть искомая величина равна 2S.
|
S (км) |
v (км/ч) |
t (ч) |
По течению |
S |
25 + 3 = 28 |
S/28 |
Против течения |
S |
25 – 3 = 22 |
S/22 |
Стоянка |
- |
- |
5 |
откуда 
.Значит, искомое расстояние равно 616 км.Ответ: 616.Средняя скоростьНапомним, что средняя скорость вычисляется по формуле
где S — путь, пройденный телом, a t — время, за которое этот путь пройден. Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и всё время движения. Например, если путь состоял из двух участков протяженностью S1 и S2, скорости на которых были равны соответственно v1 и v2, то
Пример 8.Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть — со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть — со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.Решение:Обозначим длину всей трассы через 3S. Тогда первую треть трассы велосипедист проехал за время t1 = S/12, вторую треть — за время t2 = S/16, последнюю треть — за время t3 = S/24. Значит, время, потраченное им на весь путь, равноt1 + t2 + t3, т.е. 
Поэтому искомая средняя скорость находится по формуле
(км/ч)Ответ: 16.Движение протяженных тел
В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо:- придорожного столба;
- идущего параллельно путям пешехода;
- лесополосы определенной длины;
- другого двигающегося поезда.
Через 12 минут: 
Решение:Будем считать, что первый сухогруз неподвижен, а второй приближается к нему со скоростью х (м/мин), равной разности скоростей второго и первого сухогрузов. Тогда за 12 минут второй сухогруз проходит расстояниеL=400 + 120 + 80 + 600 = 1200 (м).Поэтому х = 1200/12 = 100 (м/мин) = 6 (км/ч).Ответ: 6.Задачи для тренировкиУсловие задач часто для удобства представляют либо в виде рисунка, либо в виде таблицы, либо в виде того и другого.Пример 13.Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.Решение:Пусть v км/ч – скорость товарного поезда (v>0), t ч – время движения скорого поезда (t>0). Составим таблицу.
|
Расстояние (км) |
Скорость (км/ч) |
Время (ч) |
Скорый поезд |
(v+50)t |
v+50 |
t |
Пассажирский поезд |
8/5 v(t+1) |
8/5 v |
t+1 |
Товарный поезд |
v(t+4) |
v |
t+4 |
50 км/ч – скорость товарного поезда.50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.Ответ: 50, 100.Пример 14.Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. Каждый шел с постоянной скоростью и, придя, в конечный пункт, немедленно поворачивал обратно. Первый раз они встретились в 12 км от пункта В, второй раз – в 6 км от А через 6 часов после первой встречи. Найти расстояние между пунктами и скорости туристов.Решение:Используя схему движения туристов, составим таблицу.
Туристы/Путь |
S |
V |
t |
|
I |
АС |
6 + S |
|
|
СВ |
12 |
|
||
ВД |
12 + S |
|||
II |
ВС |
12 |
|
|
СА |
6 + S |
|
||
АД |
6 |
|||
Из корней последнего уравнения (-1 и 4) только v2 = 4 (км/ч) подходит по смыслу. Тогда v1 = v2 + 2 = 4 + 2 = 6 (км/ч).S = 6v2 - 12 = 24 – 12 = 12 (км).Весь путь 18 + S = 18 + 12 = 30 (км).Ответ: 30, 4, 6.В следующей задаче встречается два типа задач: «движение навстречу» и «обычное движение».Пример 15.Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Велосипедист, ехавший из А, прибыл в В через 4 часа после встречи, а велосипедист, ехавший из В, прибыл в А через 9 часов после встречи. Сколько часов был в пути каждый велосипедист?Решение:Пусть весь путь от А до В равен S км, и - скорости велосипедистов и tв - время, прошедшее с момента начала движения до встречи велосипедистов.
|
S |
v |
t |
I до встречи |
|
|
|
II до встречи |
|
|
|
I после встречи |
|
|
4 |
II после встречи |
|
|
9 |
Имеем систему уравнений:
Тогда 
Тогда значения времени, о которых спрашивается в задаче: tв + 4 = 10 ч, tв + 9 = 15 чОтвет: 10, 15.Список используемой литературы Видеолекция «Задачи на движение»: 
