Математика: Задачи на сплавы и смеси

Задачи на сплавы и смеси

В данном разделе рассматриваются задачи, в которых речь идет о смесях (растворах) некоторого вещества в другом веществе и об изменении концентрации этого вещества после каких-либо манипуляций. При этом водные растворы, смеси или сплавы играют сходные роли и позволяют лишь несколько разнообразить сюжеты задач без изменения математического содержания.Ключевой при решении таких задач является идея отслеживания изменений, происходящих с «чистым» веществом (далее кавычки будем опускать).Пример 1.Дано:m₁ кг — масса вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р₁% ; m₂ кг — масса вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р₂% . Чему равна процентная концентрация смеси этих масс?Решение:

откуда

Пример 2.Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова. Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?Решение:

300·20 + 200·40 = р(300 + 200), откуда р = 14000/500 = 28%.Ответ: 28.Пример 3.В сосуд, содержащий 5 литров 12%-го водного раствора кислоты, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?Решение:Учтем, что вода имеет концентрацию кислоты 0%.

5·12 + 7·0 = р(5 + 7); р = 5 (%)Ответ: 5.Пример 4.Имеется чай двух сортов — по 80 и 120 рублей за 1 кг. Смешали 300г первого и 200г второго сорта. Определить цену за 1 кг полученной смеси.Решение: 300·80 + 200·120 = р(300 + 200), откуда р = 48000/500 = 96 (руб/кг)Ответ: 96.Пример 5.Дано: кусок вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р₁% ; кусок вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р₂% . По сколько грамм от каждого куска надо взять, чтобы получить m грамм смеси, содержащей р% вещества В?Решение:

откуда

Пример 6.Торговец продает орехи двух сортов: 1-й — по 90 центов, 2-й — по 60 центов за 1 кг. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за кг. Сколько для этого потребуется взять орехов каждого сорта?Решение:

m₁·90 + (50 – m₁ )·60 = 50·72, откуда находим m₁ = 20 (г), m₂ = 30 (г).Ответ: 20, 30.Пример 7.Сколько фунтов меди надо сплавить с 75 фунтами серебра 72-й пробы, чтобы получить серебро 64-й пробы.Решение:Учтем, что медь имеет концентрацию серебра 0 %.

75·72 + m· 0 = 64(75 + m), m = 9,375 (фунтов)Ответ: 9,375.Пример 8.Дано: кусок вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р₁% ; кусок вещества А, в котором присутствует вещество В с концентрацией р₂% . В каком отношении (по массе) надо сплавить части этих кусков, чтобы получить сплав, содержащий р% вещества В?Решение:

Подставим m₁ = km₂

Ответ:

По схеме примера 8 решаются и задачи вида:Дано:

— плотности двух веществ,

— плотность и их смеси. В каком отношении (по объему) смешаны эти вещества?Пусть V₁ и V₂ — объемы этих веществ. Масса смешиваемых веществ равна массе смеси, т.е. выполняется равенство, аналогичное предыдущей задачи:

Подставим V₁ = kV₂ =>

Пример 9.Торговец продает вино двух сортов: по 10 и по 6 гривен за ведро. Какие части этих вин ему надо взять, чтобы получить вино ценою в 7 гривен за ведро?Решение:

Подставим m₁ = km₂:

Это значит из четырех частей вина одна часть по 6 гривен, а три части – по 10 гривен.Ответ:

ведра по 6 гривен,

ведра — по 10 гривен.Задачи на пропорции.Данный тип задач трудно оформить в виде конкретных формул. Зато легко понять принцип решения.Пример 10.Сколько томат-пасты, содержащей 30% воды, получится из 28 тонн томатов, содержащих 95% воды?Решение:Составим два «уравнения» до и после выпаривания, учитывая, что при выпаривании «сухая часть» томатов не меняется, а уменьшается вода:

Сух. Вещество + Вода = Томаты			выпаривание	Сух. Вещество + Вода = Паста
5%	95%	100%		70%	30%	100%
1,4 т		28 т		1,4 т		X т

В первом «уравнении» 1,4 т нашли из пропорции:

Во втором «уравнении» получили пропорцию

(т).Ответ: 2.Пример 11.Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза успокоил всех, сказав: «В нашем лесу 99% деревьев – это сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса вырубит леспромхоз?Решение:Составим два «уравнения» до и после вырубки:

Сосны + Ост. деревья = Лес			вырубка	Сосны + Ост. деревья = Лес
99%	1%	100%		98%	2%	100%
					1%	X

Так как остальные деревья остаются нетронутыми, можем составить пропорцию:

Если бы экологи лучше знали проценты, то директору леспромхоза не удалось бы их так легко перехитрить.Ответ: 50.Пример 12.Груши, содержащие 65% воды, при сушке потеряли 50% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?Решение:Составим два «уравнения» до и после сушки учитывая, что при сушке «сухая часть» груш не меняется, а уменьшается вода:

Сух. Вещество + Вода = Груши			сушка	Сух. вещество + Вода = Суш. груши
35%	65%	100%		35%	15%	50%
					Х%	100%

Процент воды, найдем из пропорции:

Ответ: 30.Список используемой литературы Видеолекция «Задачи на сплавы и смеси»:

Перейти к выполнению теста: Тест. Задачи на сплавы и смеси