Задачи на числа
  1. Найти часть от числа.При затруднении надо разобраться с «половиной», т.е. числа.Например, от 800 мы понимаем, что это 400.800 ? = 400. Какое действие мы сделали?Нетрудно догадаться, что это умножение.Тогда легко найдем от 800 как
  2. Найти число по его части.Выясним с помощью «половины», т.е. числа. Пусть, например, надо найти число, если его половина равна 300. Очевидно, что это число 600. Какое действие мы сделали? 300 ? = 600. Можно догадаться, что это деление.Тогда легко найдем чему равно все число, если его равны 210:
  3. Найти процент от числа.Процент – это сотая часть числа. Значит, задача сводится к нахождению части числа (п.1). Например, 3% = 0,03; 0,15% = 0,015; 29,34% =0,2934.
      А) 6% от 20 — это 0,06 от 20, т.е. Б) 6% от Х — это 0,06Х.
  4. Найти число по его проценту.15% составляют 30. Чему равно все число?
      1-й способ. Задача сводится к нахождению числа по его части (п.2): 30 : 0,15 = 30 · 100 : 15 = 200.2-й способ (пропорция):
  5. Число Х увеличить на: а)3%, б) 17%, в) 32%.Решение:
      а) Х + 0,03Х = 1,03Х;б) Х + 0,17Х = 1,17Х;в) Х + 0,32Х = 1,32Х.
  6. Число Х уменьшить на а)3%, б) 17%, в) 32%Решение:
      а) Х - 0,03Х = 0,97Х;б) Х - 0,17Х =0,83Х;в) Х - 0,32Х = 0,68Х.
  7. А дороже В на 25%. На сколько % В дешевле А?Решение:Те, кто решил, что ответ 25% — ошиблись.А больше В на 25%, т.е. А = 1,25В. Отсюда В = А : 1,25 = 0,8А.Запись В = 0,8А означает, что В дешевле А на 20%.Ответ: 20%.
  8. Как изменится Х, если его последовательно сначала увеличить на 10%, а потом уменьшить на 10%?Решение:Неправильный ответ — не изменится.Увеличить Х на 10% означает: Х + 0,1Х = 1,1Х. Уменьшаем на 10% уже не Х, а 1,1Х: 1,1Х – 0,1(1,1Х) = 1,1Х – 0,11Х = 0,99Х. Значит, число уменьшилось на 1% по сравнению с первоначальным.Ответ: уменьшится на 1%.
  9. Как изменится Х, если его последовательно увеличить на р% два раза подряд?Решение:
      1-й раз увеличили Х на р%, получили Х + Хр/100 = Х(1 + р/100).2-й раз увеличили Х(1 + р/100) на р%, получим: Х(1 + р/100) + р/100(Х(1 + р/100)) = Х(1 + р/100)2.
  10. Как изменится Х, если его последовательно увеличить на р% n раз подряд?Решение:Продолжая рассуждение в примере №9, получим формулу: Х(1 + р/100)n.
  11. Как изменится Х, если его последовательно уменьшать на р% n раз подряд?Ответ: Х(1 - р/100)n.
Тренировочные задачи.
  1. Пальто дешевле шубы на 20%. На сколько % шуба дороже пальто?Решение:Пусть П – стоимость пальто, Ш – стоимость шубы.П = 0,8Ш, тогда Ш = П : 0,8П = 1,25П. Т. е. шуба дороже пальто на 25%.Ответ: 25.
  2. Пять рубашек дешевле куртки на 25%. На сколько процентов семь рубашек дороже куртки?Решение:Пусть Р – стоимость рубашки, К – стоимость куртки.5Р = 0,75К; отсюда Р = 0,75К/5 =0,15К. Тогда 7Р = 7 ·0,15К = 1,05К.Т.е. 7 рубашек дороже куртки на 5%.Ответ: 5.
  3. Три числа относятся как 5:6:10. Если первое число уменьшить на 10%, а второе – на 20%, то на сколько % надо увеличить третье число, чтобы сумма не изменилась?Решение:5Х + 6Х + 10Х = (5-0,5)Х + (6-1,2)Х + (10 + р)Х21Х = 4,5Х + 4,8Х + (10 + р)Х11,7Х = (10 + р)Х | :Х11,7 = 10 + рр = 1,7 или 17%.Ответ: 17%.
  4. Некоторая сумма, больше 1000 рублей была помещена в банк и после первого года хранения проценты, начисленные на вклад, составили 400 рублей. Владелец вклада добавил на счет еще 600 рублей. После второго года хранения и начисления процентов сумма на вкладе стала равной 5500 рублям. Какова была первоначальная сумма вклада, если процентная ставка банка для первого и второго годов хранения была одинакова?Решение:Пусть Х руб. – первоначальная сумма.После 1-го года хранения сумма стала (Х + 400) руб. Согласно формуле, полученной в п.10 получим первое уравнение:Х(1 + р/100) = Х + 400,Х + Хр/100 = Х +400, Хр/100 = 400, откуда Хр=40000, р = 40000/Х.Уравнение после 2-го года хранения, учитывая добавление на вклад 600 руб., примет вид: (Х + 1000)(1 + р/100) = 5500. Раскроем скобки:Х + Хр/100 + 1000 + 10р = 5500, заметим, что Хр/100 = 400, тогда уравнение примет вид: Х + 10р = 4100. Подставим в негор = 40000/Х, полученное в первом уравнении, и перейдем к квадратному уравнению:Х2 - 4100Х + 400000 =0. Решая, которое получим два корня Х1 = 100 и Х2 = 4000.По условию задачи сумма была больше 1000, т.е. походит только второе решение.Ответ: 4000.
  5. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. На сколько % каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 8000 рублей, он через два года был продан за 6480 рублей?Решение:Согласно формуле примера №10 получим уравнение:8000(1 – р/100)2 = 6480; (1 – р/100)2 =0,81; откуда 1 – р/100 = 0,9 или1 – р/100 = -0,9. Второе уравнение не удовлетворяет смыслу задачи, а из первого находим р = 10%.Ответ: 10.
  6. Чему равна первоначальная сумма вклада (в рублях), если после двух лет она выросла на 304,5 рубля при 3% годовых?Решение:Пусть Х — первоначальная сумма вклада. Согласно формуле примера №10 получим уравнение: Х(1 + 0,03)2= Х + 304,5;1,0609Х = Х + 304,5; 0,0609Х = 304,5; Х = 5000 (руб.)Ответ: 5000.
  7. Сбербанк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?Решение:Согласно формуле примера №10 получим:1000(1 + 0,03)2= 1000·1,0609 = 1060,9 (руб.) Т.е. вклад увеличится на1060,9 – 1000 = 60,9 (руб.)Ответ: 60,9.
  8. Цену на автомобиль поднимали два раза: сначала на 25%, а затем на 20%. Во сколько раз новая цена на автомобиль больше первоначальной цены?Решение:Пусть Х — первоначальная цена автомобиля. Тогда цена после первого повышения составит 1,25%А=1,25А, а после второго повышения: Значит, новая цена на автомобиль больше первоначальной цены в 1,5 раза.Ответ: 1,5.
  9. Три числа относятся как 8/19 : 0,6 : 93/95. Третье числа больше половины первого на 36,5. Найти большее из чисел.Решение:Пусть первое число 8Х/19; второе — 0,6Х; третье — 93Х/95.По условию 3-е больше первого на 36,5: Тогда
      первое число (8/19) ·46,5 = 20;второе число 0,6 ·46,5 = 28,5;третье число (93/95) ·46,5 = 41,5 — наибольшее из чисел.
    Ответ: 41,5.
  10. Численность волков в двух заповедниках в 2009 году составила 220 особей. Через год обнаружили, что в первом заповеднике численность волков возросла на 10%, а во втором — на 20%. В результате общая численность волков в двух заповедниках составила 250 особей. Сколько волков было в первом заповеднике в 2009 году?Решение:Пусть Х — численность волков в первом заповеднике, а У — во втором заповеднике в 2009 году. Получим первое уравнение Х + У = 220.В 2010 году в первом заповеднике сталоХ + 0,1Х = 1,1Х, а во втором: У + 0,2У = 1,2У. Получим второе уравнение:1,1Х + 1,2У = 250. Решим систему:Решим второе уравнение: 242 – 1,1У + 1,2У = 250; 0,1У = 8; У = 80,Х = 220 – 80 = 140.Ответ: 140.
Следующие задачи тоже являются задачами на числа.
  1. Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр, а квадрат этой суммы в 2,25 раза больше самого числа. Найти это число.Решение:Пусть 10А + В – данное число.10А +В = 36.Ответ: 36.
  2. Сумма кубов цифр двузначного числа равна 243, а произведение суммы его цифр на произведение цифр этого числа равно 162. Найти это число.Решение:Пусть 10А + В — данное число.Разделим (1) на (2): Пусть А/В = t. Получим две системы: А/В=2/1 или А/В = .Ответ: 63 или 36.
Список используемой литературы Видеолекция «Задачи на числа»:
Перейти к выполнению теста: Тест. Задачи на числа
В начало