Трапеция
— четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна (рис. 1 
).Параллельные стороны называются основаниями трапеции.Две другие стороны называются боковыми сторонами.Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной).Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.Свойства трапеции:- средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме;
- параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки;
- у равнобокой трапеции углы при основании равны;
- у равнобокой трапеции диагонали равны.
- если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
- если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
- в трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и продолжения боковых сторон находятся на одной прямой.
- отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции.
, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты: 
.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.Трапеция:
a, b — основания; h — высота или расстояние между ними; l — средняя линия трапеции.
,где O — угол между диагоналями; l — средняя линия трапеции.Пример 1.Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6. Высота трапеции равна 10. Тангенс острого угла равен 2. Найдите большее основание.
РешениеПо условию задачи BC = 6, ВH = 10, tgA = 2.Выполним дополнительно построение: проведем вторую высоту CM.Рассмотрим основание трапеции AD. Его длина складывается из длин отрезков: AD = AH + HM + MD. Обратим внимание, что так как трапеция равнобедренная, то AH = MD, кроме этого ВС = HM.Переходим к использованию данных задачи: AD = 2x + 6, где x — длина отрезка AH. Так как tgA = 2, то 
(тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету). Следовательно, 
.Окончательно получаем AD = 2x + 6 = 16.Ответ: 16Пример 2.На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображена трапеция. Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
РешениеОбратимся к рисунку. Следует заметить, что площадь выделенной фигуры можно представить в виде суммы площадей квадрата (располагается слева) и прямоугольного треугольника (располагается справа).Площадь квадрата 
, где а — длина стороны квадрата. Площадь прямоугольного треугольника 
, где а и b — катеты прямоугольного треугольника.Переходим к вычислительной части решения задачи. 
. Исходя из рисунка а = 5 см, b = 4 см. Следовательно, 
.Ответ: 35Пример 3.Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 3), (10; 3), (5; 8), (3; 8).
РешениеВоспользуемся формулой нахождения площади трапеции: 
, где a, b — длины оснований трапеции, h — высота трапеции. Обратимся к иллюстрации. Вычислим а = 10 — 2 = 8, аналогично b = 5 — 3 = 2. Мы воспользовались приемом нахождения длинны отрезка в системе координат. Вычислим высотку трапеции: h = 8 — 3 = 5.Таким образом, 
.Ответ: 25Пример 4.Основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны — 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.
Решение- HK = BC = 10 м
- Пусть BH = CK = x, AH = y, тогда KD = 21 — y
- По теореме Пифагора:x2 + y2 = 132x2 + (21 — y)2 = 202x2 + y2 = 169x2 + 441 — 42y + y2 = 400441 — 42y = 23142y = 210y = 5AH = 5 м
- По теореме Пифагора:BH2 = AB2 — AH2BH2 = 132 — 52BH2 = 169 — 25BH2 = 144BH = 12
