Иррациональные уравнения
Весьма распространенный прием решения иррациональных уравнений и неравенств — возведение в квадрат. Тем не менее, советуем вам пользоваться им как можно реже, ибо он обладает существенными недостатками: во-первых, возводя в квадрат обе части уравнения, вы расширяете область допустимых значений неизвестного, что может привести к появлению посторонних корней; во-вторых, часто в результате этой операции получается уравнение с громоздкими коэффициентами, работать с которыми затруднительно (особенно если на экзамене не разрешается пользоваться калькулятором). Наконец, главный недостаток этого приема — увеличение вдвое степени уравнения. Возведя обе части в квадрат, вы можете избавиться от иррациональностей, но получить рациональное уравнение степени выше второй, способы решения которого в общем виде вам неизвестны или вообще не существуют.Если возводить в квадрат все-таки приходится, нужно внимательно следить за тем, чтобы не включить в ответ посторонние корни. В частности, если уравнение имеет вид то для корней должно выполняться условие (при этом , и условие отдельно ставить не требуется). Еще один способ обнаружить посторонние корни — проверка всех найденных корней подстановкой их в первоначальное уравнение.Пример 1.Решить уравнение: .РешениеКорни должны удовлетворять условию 4х - 8 ≥  0, то есть х ≥  2. Возведем обе части в квадрат: — посторонний корень.Ответ: х = 3.Пример 2..Поскольку неизвестное входит в подкоренное выражение и в рациональную часть уравнения в виде одной и той же комбинации (x2 - 7х), можно сделать замену: , тогда x2 - 7х = t2 - 19, и t определяется из уравнения: 2t + t2 - 19 + 4 = 0, t2 + 2t — 15 = 0, t1 = 3, t2 = -5 < 0 — не соответствует условию на знак t.Обратная замена: Ответ: х = 2, х = 5.Комментарий. Замена переменной очень полезна при решении иррациональных уравнений. Часто с ее помощью удается избежать необходимости возведения в квадрат.Пример 3.Решить уравнение: .РешениеПодкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому замена приводит к уравнению: Случай 1. Случай 2. Ответ: Комментарий. Следует обратить внимание на то, что в некоторых заданиях нет необходимости в проверке корней или задании каких-либо ограничений: значения х определяются из условия, что корень принимает некоторое неотрицательное значение.Пример 4.Решить уравнение: .РешениеПерепишем уравнение в виде: и возведем обе части в квадрат, не задавая никаких ограничений: проще будет в конце работы проверить получившиеся корни:Еще раз возведем в квадрат обе части полученного равенства:.Проверка. — корень уравнения. —  — не корень уравнения.Ответ: х = 16.Пример 5.Решить уравнение: .В этом уравнении замена поможет ограничиться только одним возведением в квадрат:Ответ: .Пример 6..РешениеОДЗ задается условием: . Запишем уравнение в виде:  — посторонний корень., (корень первого уравнения х = 0 не удовлетворяет второму условию). Итак, единственный корень исходного уравнения — х = 11.Ответ: х = 11.Рассмотренные примеры решаются просто, но в более сложных случаях обязательное соблюдение условия равносильности преобразований может привести к серьезным техническим трудностям, сделать решение слишком ветвящимся и громоздким. Поэтому, не будем строго запрещать применение любых неравносильных преобразований. Все ли они одинаково опасны? Понятно, что более опасны неравносильные преобразования, приводящие к потере корней. В большинстве случаев потерянные корни отыскать весьма трудно (заметим также, что малоопытный решающий, а абитуриент часто именно таков, может вовсе не заметить факта потери корня и не будет пытаться его отыскать, хотя это, может быть, и получилось бы).Итак, на не равносильные преобразования, приводящие к потере корней, мы накладываем строгий и категорический запрет. При решении уравнений, таким образом, мы не будем применять деление обеих частей уравнения на выражение, обращающееся в ноль в области определения уравнения, и не будем применять преобразования, приводящие к сужению области определения уравнения.Что же касается неравносильных преобразований, приводящих к появлению посторонних корней, то такие преобразования вполне допустимы. Но при этом, обязательным заключительным этапом решения должна быть проверка всех найденных в итоге корней. Заметим, что тактика проверки зависит непосредственно от класса уравнений (рациональные, иррациональные, логарифмические и т.д.), ибо в каждом случае свои причины появления посторонних корней. В этой связи, тактика проверки конечно должна быть гибкой, но можно пользоваться и универсальным приемом: подстановка всех корней итогового уравнения в исходное с последующим вычислением или «прикидкой».Пример 7.Решим уравнение: Комментарий. При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования при обязательной проверке корней. Решая уравнения вида , следует перед возведением в квадрат уединить один из корней, перенеся его в правую часть уравнения. Уединить можно любой из корней, и в большинстве случаев, все равно какой. Но иногда уединение определенного корня приводит к более простому решению, чем уединение других. Поэтому всегда следует анализировать ситуацию в указанном аспекте.РешениеВ нашем уравнение сумма коэффициентов при х в первом и третьем подкоренных выражениях равна коэффициенту при х во втором подкоренном выражении. Поэтому уединить целесообразно именно корень . Полученное после возведения в квадрат уравнение будет содержать х только под корнем. Если бы мы уединяли любой из других корней, то после возведения в квадрат получали бы уравнения, содержащие х и под корнем, и вне корня, что менее удобно для последующего решения.Итак, имеем:Комментарий. При решении иррационального уравнения мы осуществляем так называемую рационализацию уравнения, т.е. избавляемся от радикалов (корней). Но, избавляясь от корней, мы избавляемся и от ограничений на подкоренные выражения: Иными словами, происходит расширение области определения уравнения. Это причина появления посторонних корней. Поэтому все корни итогового уравнения, полученного в ходе решение, следует проверить на принадлежность области определения исходного уравнения. В нашем случае область определения исходного уравнения задается системой:Решив эту систему, получаем область определения уравнения:Очевидно, что  — посторонний корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований, приведших к расширению области определения уравнения, а x2 = 0 —– принадлежит области определения уравнения и является его корнем (что легко проверить непосредственной подстановкой).Ответ: х = 0.Комментарий. Но единственная ли причина появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений с радикалами четной степени — расширение области определения исходного уравнения? Не кроется ли в возведении обеих частей уравнения в четную степень еще одна, менее очевидная, но не менее опасная в смысле ошибки, причина появления посторонних корней?Пример 8.Итоговое уравнение имеет такие же корни, что и уравнение из случая «а». Проверим их подстановкой в исходное уравнение . Пусть х = -1, тогда исходное уравнение превращается в верное числовое равенство. Пусть, далее, х = 7. Тогда левая часть исходного уравнения равна -2. Таким образом, х = 7 — посторонний для исходного уравнения корень.В процессе решения следствием уравнений «а», «б» является одно и тоже уравнение имеющее два корня: x1 = -1 и x2 = 7. Корень x1 = -1 — есть корень уравнения «б», но посторонний для уравнения «а»; корень x2 = 7 — наоборот, корень уравнения «а», посторонний для уравнения «б».В каждом из случаев «а» и «б» корни, оказавшиеся посторонними, принадлежат области определения данного уравнения. Значит, расширение области определения исходного уравнения — не единственная причина появления посторонних корней. В чем же дело? Заметим, что и в случае «а», и в случае «б» при подстановке в исходное уравнение корень, оказывающийся посторонним, приводит к ситуации: левая и правая части уравнения равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Это не случайно. Уравнение является следствием не только уравнения , но и следствием уравнения . Какие следует сделать из этого выводы?Во-первых, поскольку появление посторонних корней при решении иррациональных уравнений, содержащих радикалы четной степени может быть и не связано с областью определения исходного уравнения, то и проверка корней не может осуществляться только по области определения, или условиям ее задающим.Во-вторых, проверка корней иррационального уравнения, должна учитывать обе причины появления посторонних корней; универсальный прием, как уже говорилось, состоит в непосредственной подстановке в исходное уравнение, но могут быть реализованы и другие подходы.
  1. Сначала отсечь те корни, которые не принадлежат области определения исходного уравнения, а оставшиеся проверить непосредственной подстановкой во все уравнения левая и правая части которых возводились в квадрат в процессе решения.
  2. Опять же исключить все корни, не принадлежащие области определения, а затем проанализировать все случаи возведения в квадрат обеих частей уравнения, выделить те случаи, где было нарушено условие равносильности:Далее только в эти уравнения подставить корни итогового уравнения, принадлежащие области определения исходного уравнения.
  3. Если решать иррациональные уравнения, применяя только равносильные преобразования, то в каждом случае возведения в квадрат следует предусматривать условие равносильности, сформулированное выше, и изначально следует зафиксировать условия, задающие область определения исходного уравнения.
Рассмотрим схемы равносильных преобразований для иррациональных уравнений основных видов.
Заметим, что важно, конечно, не выучить наизусть эти схемы, а понять их, уметь самостоятельно составлять схемы равносильности для других случаев.Не надо думать, что в процессе решения иррационального уравнения обязательно появляются посторонние корни. Рассмотрим пример.Пример 9.Решим уравнение: РешениеВозведя обе части уравнения в квадрат, получаем 1 + 3х = x2 + 2х + 1, т.е. уравнение x2 – х = 0. Его корни x1 = 0 и x2 = 1. Подставляя каждый из найденных корней в исходное уравнение, убеждаемся, что оба они являются его корнями.Пример 10.Решим уравнение: РешениеУединим радикалы: Возведем обе части уравнения в квадрат (дважды):Корни последнего уравнения: Далее следует провести проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями т.е. 1 ≤ x ≤ 3. Как нетрудно проверить, полагая приближенно равным 1,7, что оба корня x1 и x2 принадлежат области определения исходного уравнения. Значит, если среди x1 и x2 есть посторонний корень, то причина его появления связана с нарушением условия равносильного возведения обеих частей уравнения в квадрат. Ясно, также, что первое из проделанных в данном решении возведений в квадрат — равносильное преобразование, поэтому если и появились посторонние корни, то при возведении в квадрат обеих частей уравнения Непосредственной подстановкой именно в это уравнение проверим наши корни x1 и x2.Итак, пусть тогда:Мы пришли к верному числовому равенству. Значит  — корень данного уравнения.Пусть теперь .Тогда Ясно, что левая часть уравнения отрицательна, а правая положительна. Поэтому  — посторонний корень.Пример 11.Решим уравнение: Распределим радикалы следующим образом: Возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные слагаемые:Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:Проведем проверку корней. Сразу замечаем, что корень не имеет смысла при x = -0,5. Поэтому единственный возможный корень исходного уравнения — это х = 2, удовлетворяющий всем условиям области определения. Поскольку, возводя обе части уравнения в квадрат, мы всякий раз соблюдали условие равносильности, то х = 2 — единственный корень исходного уравнения.Пример 12.Решим уравнение: .При решении этого уравнения покажем применение метода введения новой переменной при решении иррациональных уравнений.Возведем обе части уравнения в квадрат: Пусть теперь , тогда уравнение можно переписать в виде:.Это уравнение имеет два корня: . Таким образом, следствием исходного уравнения является совокупность систем:.Решим первую систему совокупности.Обозначим: и .Тогда имеем: Таким образом, Корни этой совокупности систем: Аналогично, решая вторую систему исходной совокупности, получаем:.Пример 13.Решим уравнение: Подкоренные выражения и представляют из себя полные квадраты:Тогда:Пусть , тогда уравнение можно переписать в виде: Возведем обе части последнего уравнения в квадрат, затем воспользуемся тождеством и формулой разности квадратов:Если у = 0, то , т.е. х = 1. Если у = 2, то , т.е. х = 5. Если у = 1, то , т.е. х = 2. Если у = -1, то уравнение не имеет корней.Непосредственной подстановкой в исходное уравнение всех найденных значений х, приходим к выводу, что только х = 5 является корнем данного уравнения.Рассмотрим далее примеры решения иррациональных уравнений с корнями степени, большей, чем вторая.Пример 14.Решим уравнение: Перераспределим радикалы: Возведем обе части уравнения в третью степень:Выражение в скобках, очевидно, есть — , т.е.:Снова возведем обе части уравнения в третью степень: Далее имеем:В процессе решения был применен прием, связанный с заменой суммы на выражение , что могло привести к появлению посторонних корней (такой вывод позволяет сделать определенная искусственность этого приема). Поэтому проверим все найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение.Если х = -2, то исходное уравнение обращается в верное числовое равенство.Для подстановки значений возьмем приближенное значение: Тогда и .Если х = -0,4, то:Ясно, что это числовое равенство неверно, поскольку все три значения корней положительны, а сумма положительных чисел не может быть равна 0.Если х = -2,6, то:Ясно, что эта сумма не может быть равна 0, т.к. уже Заметим, что довольно часто, «прикидка» при проверки корней позволяет сделать необходимый вывод на определенном промежуточном этапе вычислений, и доводить их до явного числового равенства или неравенства совсем не обязательно (это снова к вопросу о гибкой тактике проверки корней).Таким образом, х = -2 — единственный корень данного уравнения.Ответ: -2.Комментарий. Запишем в общем виде прием решения, рассмотренный в этом примере:По аналогичной схеме решаются уравнения вида .Большие трудности у абитуриентов вызывают иррациональные уравнения, содержащие радикалы разных степеней. Рассмотрим примеры.Пример 15.
  1. Решим уравнение: .Это уравнение легко рационализируется возведением обеих его частей в шестую степень:И далее:Подстановкой выясняем, что только х = 2 является корнем данного уравнения.
  2. Решим уравнение: В этом случае возведение обеих частей уравнения в шестую степень уже нецелесообразно. Проведем замену переменных.Пусть и тогда a + b = 1. Возведем в куб первое уравнение системы ,и в квадрат второе уравнение этой системы; затем почленно сложим полученные уравнения. В итоге получаем: a3 + b2 = 1.Таким образом, имеем систему уравнений:Решая ее, получаем: т.е. совокупность систем:В итоге Непосредственная подстановка в исходное уравнение показывает, что среди этих корней нет посторонних.
Комментарий. Заметим, что описанный в случае «б» прием является достаточно распространенным. Рассмотрим его применение при решении уравнений с радикалами высших степеней.Пример 16.Решим уравнение: Пусть Тогда . Возведем в четвертую степень обе части каждого из уравнений системы и почленно сложим полученные уравнения. В итоге получаем: Таким образом, имеем систему уравнений: Это симметрическая система уравнений, стандартно решающаяся заменой переменных a + b = y и ab = z.Имеем корни: . Отсюда x1 = 2, x2 = 6. Проверка показывает, что это действительно корни данного уравнения.Ответ: x1 = 2, x2 = 6. Видеолекция «Иррациональные уравнения»:
Перейти к выполнению теста: Тест. Иррациональные уравнения
В начало