Логарифмические уравнения
, так же, как в случае иррациональных уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — расширение области определения исходного уравнения. Поэтому и проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо непосредственно по предварительно найденной области определения, либо по условиям её задающим (подстановкой в соответствующую систему неравенств). Заметим, что иногда удобно осуществить проверку и непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение. Это, конечно же, допустимо. Естественно, что при решении логарифмических уравнений возможно и следование стратегии равносильных преобразований. Далее мы рассмотрим примеры решения разного рода.Расширение области определения при решении логарифмических уравнений связано, как правило, с двумя обстоятельствами:- а) преобразование потенцирования («отбрасывания» логарифмов, замена уравнения
уравнением 
);б) использование «справа — налево» формул:
Решение.Будем представлять правую часть уравнения последовательно в виде логарифмов с основаниями 4, 2 и 3 и проводить преобразование потенцирования:
Проверим найденное значение непосредственной подстановкой в исходное уравнение:
Мы пришли к верному числовому равенству. Таким образом, 
- единственный корень данного уравнения.Ответ: 41.Пример 2. Решим уравнениеРешение.Представим 1 как 
и преобразуем левую и правую части уравнения исходя из свойств логарифмов:
потенцируя уравнение, получаем:
.Решим это рациональное уравнение:
Осуществим проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями: 
т.е. область определения: 
Оба корня, очевидно, принадлежат области определения. Таким образом, корни данного уравнения: Ответ: 1,5; 10.Пример 3. Решим уравнение: 
Решение.Пусть 
тогда получаем систему уравнений:
Корни первого уравнения системы: 
Тогда исходное уравнение равносильно совокупности: 
т.е. 
Потенцируя полученные уравнения приходим к выводу, что х = 9 или х = 
Оба этих значения являются корнями данного уравнения, поскольку его область определения задается условием х + 1 >
0, т.е. х >
-1.Ответ: 9; Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то следует привести их к одному основанию, воспользовавшись формулами перехода к новому основанию логарифма:Пример 4. Решим уравнение: 
Решение.В данном уравнении перейдем к логарифмам по основанию 2:
Последнее уравнение равносильно системе: 
Корни первого уравнения системы 
Таким образом, имеем совокупность уравнений: 
которая равносильна системе 
Откуда очевидно, что 
- единственный корень данного уравнения.Заметим, что применение формул перехода к новому основанию логарифма, как правило, приводит к изменению области определения уравнения. Поэтому, следует анализировать в ходе решения, как возможность, появления посторонних корней, так и возможность потери корней.Ответ: 0,5.Пример 5. Решим уравнение: 
Решение.Прежде всего, воспользуемся известным свойством логарифма и получим одинаковое для всех логарифмов логарифмируемое выражение:
Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма, получаем: 
Далее имеем:
Корни второго уравнения системы: 
Следовательно, решение исходного уравнения свелось к решению совокупности: 
Решим первое уравнение совокупности:
Аналогично, решая второе уравнение совокупности, получаем х = 4.Найдем теперь область определения исходного уравнения и проведем проверку корней: 
т.е. 
Ясно, что оба найденных значения х удовлетворяют области определения.Наконец, следует проанализировать возможную потерю корней. Для этого выясним, когда наши преобразования приводили к сужению области определения уравнения. После перехода к новому основанию логарифма дальнейшее решение осуществляется при условии: 
и 
Дополнительное условие 
не имеет отношения к исходному уравнению, поэтому х = 1 — возможный потерянный корень. Подставив значение х = 1 в исходное уравнение, убеждаемся, что это действительно корень. Таким образом, корни исходного уравнения: 
Ответ: 
.Применяя при решении логарифмических уравнений формулы перехода к новому основанию целесообразней переходить к новому основанию не являющемуся выражением с переменной, а равному некоторому числу. Как правило, это позволяет избежать потери корней. Каким конкретно числом должно быть новое основание логарифмов всегда можно понять, проанализировав данное уравнение.Так в рассмотренном выше примере, подходящим новым основанием логарифмов является число 2. Это следует из того, что все входящие в уравнения основания логарифмов имеют вид: 
где 
- целое число.Далее, с учетом этого замечания оформим решение уравнения из примера 6 как схему равносильных переходов.
Еще раз следует отметить, что решение любого уравнения должно осуществляться не механически, а сознательно, с пониманием сущности всех преобразований, с обязательным анализом возможностей появления посторонних корней и потери корней. Если такой анализ непосредственно «вплетен» в ход решения, то наиболее действенно оформлять это решение схемой равносильных переходов. Хотя это и приводит, порой, к весьма громоздким записям. Громоздкости при записи решения уравнения в виде схемы равносильных переходов можно избежать следующим приемом: начать решение уравнения с нахождения области определения и затем при проведении решения соблюдать не «равносильность вообще», а «равносильность на области определения». Оформим решение уравнения из примера 6 с учетом этого приема.
Область определения этого уравнения (множество М):М=
Далее, имеем:
Оформим также в виде равносильных переходов решения уравнений из следующих примеров. Эти уравнения (весьма распространенные в заданиях ЕГЭ, группа С), содержащие логарифмы, у которых и основания, и логарифмируемые выражения — выражения с переменной.Пример 6. Решим уравнение: 
Решение.Область определения этого уравнения (множество М):
т.е. 
Далее, имеем:
Ответ: 2.Пример 7. а) Решим уравнение: 
Ш.б) Решим уравнение: 
Ответ: а) Ш; б) 1. Видеолекция «Логарифмические уравнения»: 
