Математика: Комбинированные выражения

Комбинированные выражения

Для выполнения заданий этой группы требуется хорошо знать свойства логарифмов и уметь их применять. Эта работа очень полезна для подготовки к решению логарифмических и показательных уравнений и неравенств. Рассмотрим далее задания, связанные с упрощением показательных и логарифмических выражений.Формулы для справокВспомним основные свойства логарифмов.

.Комментарий. Логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Для того, чтобы убедиться в истинности данной формулы, достаточно вспомнить, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
.Комментарий. Логарифм равен единице в случае равенства чисел (выражений) — основания логарифма и выражения, стоящего под логарифмом.
.Комментарий. Представленная формула является одним из вариантов записи определения логарифма.
.
.
.
.
.Комментарий.Данная формула называемая формулой перехода к новому основанию, имеет два важных следствия. Приравняем в формуле , тогда . Рассмотрим числитель полученной дроби. Поставим вопрос: в какую степень следует возвести число b, чтобы получить число b. Ответ — в первую степень, т.е. числитель рассматриваемой дроби равен единице. Таким образом, . В ряде задач полезно бывает полученную формулу записать в преобразованном виде: .
.

Комментарий. Предполагается, что во всех представленных формулах параметры принимают допустимые значения.Пример 1.Вычислить

РешениеПредставим

в виде степени числа 5, тогда

Далее воспользуемся правилом умножения степеней одинаковым основанием (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются):

.Преобразуем полученную в процессе решения разность логарифмов (по одному основанию) и применим определение логарифма (зададим вопрос: В какую степень следует возвести основание логарифма 3, чтобы получить число, стоящее под логарифмом — 9?):

Ответ: 25.Пример 2.Упростить выражение

РешениеУпростим показатель степени подкоренного выражения:

Тогда

Ответ: 27.Пример 3.Упростить выражение:

РешениеВначале упростим логарифмируемое выражение. Если Вы уже занимались упрощением алгебраических выражений, то вид первого множителя в знаменателе вызовет предположение, что перед нами полный квадрат. Действительно,

Тогда:

Следовательно,

Ответ: 1/2.Пример 4.Найти значение выражения

РешениеРазделим на знаменатель каждое слагаемое числителя по отдельности:

Переходя далее в каждом слагаемом к новому основанию 18, получаем, что:

Преобразуем далее сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения и используем определение логарифма:

Ответ: 1.Пример 5.Вычислить

РешениеДля преобразования данного выражения перейдем во всех логарифмах к основанию 4:

.Тогда выражение принимает вид:

Далее разложим на множители логарифмируемые выражения, выделяя в каждом из них множитель вида 4ⁿ:28 = 4*7, 112 = 16*7 = 42*7, 448 = 64*7 = 4³*7.Продолжим преобразование выражения, используя свойства логарифмов:

Ответ: 2.Пример 6.Вычислить

РешениеПредставим числа 2 и 1 в виде:

Тогда

Ответ: 2.Пример 7.Найти

если

РешениеОбратим внимание на то, что в каждом логарифме (либо в основании, либо в аргументе) присутствует множитель 7. Поэтому перейдем к основанию 7 во всех логарифмах:

Обратим внимание, что

, тогда:Следовательно, для вычисления этого логарифма нужно знать значения и

Воспользуемся формулами перехода к новому основанию:

Подставим далее найденные значения в преобразованное исходное выражение:

Ответ:

Пример 8.Известно, что

лежит между числами 8 и 13, а

принимает целые значения. Найти количество этих значений.РешениеПерейдем в обоих логарифмах к основанию b.Для этого воспользуемся сначала формулой «логарифм частного»:

. Обратим далее внимание, что

.Получаем, что

Решим методом интервалов неравенство:

.Для этого перейдем к систем нестрогих неравенств:

.Рассматривая каждое из записанных неравенств отдельно и впоследствии находя решение как пересечение множеств (решений первого и второго неравенств), получаем:

Выполним преобразования полученного двойного неравенства.Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

Поскольку

его значения задаются неравенством:

или

Следовательно,

может принимать 6 целых значений – от 11 до 16.Ответ: 6.Комментарий. Далее проработаем выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а также комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).Основные формулы тригонометрииПеревод градусной меры угла в радианную и обратно.Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы:

.Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:

Формулы сложения.

Формулы двойных и половинных углов.

Формулы преобразования суммы в произведение:

Формулы преобразования произведения в сумму:

Формулы приведения:

φ	α
sin φ	- sin α	cos α	cos α	sin α	- sin α	- cos α	- cos α	- sin α	sin α
cos φ	cos α	sin α	- sin α	- cos α	- cos α	- sin α	sin α	cos α	cos α
tg φ	- tg α	ctg α	- ctg α	- tg α	tg α	ctg α	- ctg α	- tg α	tg α
ctg φ	- ctg α	tg α	- tg α	- ctg α	ctg α	tg α	- tg α	- ctg α	ctg α

Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.Пример 9.Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.РешениеПрименим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции

.Так как по условию задачи cosα = 0,3, то cos2α = 0,09. Значит, sin2α + 0,09 = 1, sin2α = 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая (

), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно,

.Ответ:

.Пример 10.Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.РешениеВоспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α * ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α * 0,2 = 1, откуда tg α = 5.Ответ: 5.Пример 11.Упростите выражения:

;

РешениеДанные задания — на применение формул сложения.

. Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что

3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда

5) Применим формулу «тангенс суммы», получим

Ответ:

.Пример 12.Вычислите:

;

Решение

1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда

2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем:

3) Представим 75º в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75º = 45º + 30º . Следовательно,

. Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим:

. Окончательно получаем, что

5) Для вычисления значения cos 15º представим 15º как 15º = 45º - 30º (или 15º = 60º - 45º ). Тогда

. Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что

. Cледовательно,

Ответ:

.Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.Пример 13.Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:1) sin²α;2) sin⁴α + cos⁴α;3) sin⁶α + cos⁶α.Решение

1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:

sin2α - 2sinα cosα + cos2α = 0,09.

Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:

1 - sin2α = 0,09, откуда:

sin2α = 1 - 0,09 = 0,91.

2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.

Для этого сумму sin⁴α + cos⁴α представим в специальном виде:

sin⁴α + cos⁴α = (sin⁴α + 2sin²α cos²α + cos⁴α) - 2sin²α cos²α = (sin²α + cos²α)2 - 1/2 α sin²2α = 1 - 1/2 * 0,91 = 0,545.

Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.

3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin⁶α + cos⁶α можно представить в виде суммы кубов.

sin⁶α + cos⁶α = (sin²α)³ + (cos²α)³ = (sin²α + cos²α)(sin⁴α - sin²α cos²α + cos⁴α) = 1 * (0,545 – 1/4 * 0,91) = 0,3175.

Ответ:

1) 0,91;

2) 0,545;

3) 0,3175.

Пример 14.Найти tg α, если

РешениеПроверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби):

, следовательно,

тогда:

раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые:3tg α + 4 = 5tg α - 10, 2tg α = 14, получаем, что tg α = 7.Ответ: 7.Пример 15.Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и

РешениеКак известно,

. Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим:

, то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α< 0.В приведенной выше формуле выберем знак «минус»:

Ответ:

Комментарий. Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.Пример 16.Найти значение выражения:

.Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.С целью сокращения дроби

воспользуемся формулой «разность кубов» и получим:

.Рассмотрим далее выражение

. Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом:

.Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения:

. Поэтому:

Тогда

.Окончательно получаем:

Ответ: 1.Пример 17.Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º .Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10º sin50º = 1/2 (cos40º - cos60º ) = 1/2 cos 40º - 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30º = 1/2, получаем:

Ответ:

Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.Пример 18.Упростить выражение:

.Так как числитель заданной дроби имеет достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление

.Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю:

.Следовательно,

Ответ:

Пример 19.Доказать тождество при

Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.РешениеВ частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α:

.Вспомнив, что

, получаем

Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому

;при

следовательно,

Таким образом:

Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части:

Тогда,

, что и требовалось доказать.Пример 20.Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если

.РешениеВыпишем формулы для вычисления искомых функций:

Из основного тригонометрического тождества вычислим:

Далее найдем значения искомых выражений:

Ответ:

Пример 21.Доказать тождество

.РешениеПриведем левую часть к 1:

.Тождество доказано.Пример 22.Вычислить значение выражения:

.РешениеОбратим внимание, что

Далее, используя формулы приведения, получим:

Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций:

Итак, значение выражения равно 0.Ответ: 0.Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:

.Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — углом α, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.Пример 23.Вычислить cos(4arctg 5).РешениеПусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку:

Тогда получаем, что:

Ответ:

Пример 24.Выразить через все обратные функции

РешениеПусть

. Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α > 0.Найдем все тригонометрические функции угла:

В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что

.Но

, так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти. В силу четности косинуса cos (-α) = cos α, при этом

, то есть

, тогда

.Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например,

, следовательно,

. Таким образом, угол α выражен через все обратные функции.Ответ:

Пример 25Найти arcsin (sin 12).РешениеПо условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку

. Заметим, что

, поэтому

.Поскольку

, угол 12º - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.Ответ: arcsin (sin12) = 12º - 4π.Пример 26.Вычислить

РешениеВведем два угла:

Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны. Мы знаем, что

. Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.Во-первых,

Во-вторых,

.Следовательно,

Ответ:

Перейти к выполнению теста: Тест. Комбинированные выражения