Степень
Степень с целым показателемЕсли , то степень числа называется произведение равных сомножителей: , где .В этом равенстве a – основание степени, n – показатель степени.Свойства степеней с одинаковыми основаниями
  1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями можно сложить их степени, а основание оставить прежним, т.е. или .Например: .
  2. При возведении степени в степень можно перемножить показатели степеней, а основание оставить прежним, т.е. или .Например: .
  3. При возведении произведения в степень можно возвысить в эту степень каждый сомножитель в отдельности и результат перемножить, т.е. или .Например: .
  4. При возведении в степень дроби можно возвысить в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй, т.е. или .Например: .
  5. , если .
  6. .
  7. Под степенью понимается .
  8. , если .
  9. При делении степеней с одинаковыми основаниями можно от степени числителя вычесть степень знаменателя, оставив основание степени прежним, т.е. или .
Порядок выполнения действий в алгебраических выражениях, содержащих степени, таков: вначале выполняются возведение в степень, потом умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Если в выражении имеются скобки, то сначала выполняются действия в скобках.Свойства степени с действительным показателемПусть r — произвольное рациональное число, его можно записать в виде несократимой дроби , где m — некоторое целое число, а n — натуральное число. При любом положительном a верно:.Так как и , то из соотношения вытекает по определению арифметического корня n–ой степени, что .Таким образом, степень , где принимается за определение степеней с рациональным показателем.Еще раз подчеркнем, что основание степени всегда больше нуля.Степени с рациональным показателем обладают всеми свойствами, что и степени с целыми показателями.Если , то:
  1. или .
  2. или .
  3. или .
  4. или .
  5. или .
  6. , если .
  7. , если .
  8. Если и , то .
  9. Если , то при и при .
  10. Если , то при .
  11. Если , то при .
Видеолекция «Степень»:
Перейти к выполнению теста: Тест. Степень
В начало