Осенний Олимп - 2015	30.08.2015

Тексты и решения задач
Осеннего Олимпа - 2015
(интернет-тур)
появятся здесь 11 октября 2015 г.

Первый класс

Задание

Задача 1

Одно и то же дерево изображено на рисунках 3 и 4. У него нижняя ветка смотрит вправо. На следующем уровне 2 ветки. И дальше на двух картинках ветки одинаковой длины одинаково располагаются.

Задача 2

С правого поля сняли тоже 15 пудов пшеицы, потому что в правом поле столько же квадратов, сколько в левом.

Задача 3

Например, допустим следующий пример.

1 + 6 = 7
+   +
0 + 3 = 3
=   =
1   9

Задача 4

Снимем со второго столибка один камень, а с третьего — два. Тогда во всех столбиках будет поровну камней. Сняли 3 камня, значит, осталось 6. Поэтому теперь в каждом столбике два камня. В том числе, и в первом (с которого мы ничего не снимали).

Второй класс

Задание

Задача 1

Дерево на картинке 1 такое же, как на картинке 6. Дерево 2 такое же, как 5. Дерево 3 такое же, как 4. Дерево 7 отличается от 1 тем, что у него нижняя ветка смотрит в другую сторону, от 2 — тоже. У 3 и 4 дерева, в отличие от 7 на втором уровне 2 ветки растут в разные стороны а у 7 дерева только одна — влево.

Ответ: один раз нарисовано дерево номер 7.

Задача 2

Левое поле состоит из 4 одинаковых треугольников, а правое — из 8. Правое поле в 2 раза больше, значит с него сняли урожай в 2 раза больше. 15 + 15 = 30

Ответ: с правого поля сняли 30 пудов пшеницы.

Задача 3

Например, допустим следующий пример.

2 4 6

7   5

3 8 1

Задача 4

Сразу перед Василием стоит Борис, значит, В и Б стоят рядом в таком порядке БВ (командир слева). Сразу после Акима стоит Макар, значит, А и М стоят рядом в таком порядке АМ. Если бы Аким с Макаром стояли перед Василием с Борисом, Аким был бы первым. Нам известо, что Аким не первый, значит, сначала стоят БВ, а за ними АМ: БВАМ.

Задача 5

Ефим и Пахом пришли в сад и стали собирать яблоки с соседних деревьев одного ряда, идущего от красного до зелёного забора. Ефим сказал: «Я собираю яблоки с шестого дерева от зелёного забора». Пахом ответил: «А я собираю яблоки с пятого дерева от красного забора».

Возможны 2 варианта: либо Ефим ближе к красному забору, либо Пахом. (Не важно, справа или слева расположен красный забор, важно, кто из друзей к нему ближе.) Назовём деревья именами собирателей.

1. (красный забор) деревья Пахом Ефим деревья (зелёный забор)
2. (красный забор) деревья Ефим Пахом деревья (зелёный забор)

Ефим собирает яблоки с шестого дерева от зелёного забора. Между Ефимом и зелёным забором 5 деревьев. Получаем:

1. (красный забор) деревья Пахом Ефим (5 деревьев) (зелёный забор)
2. (красный забор) деревья Ефим Пахом (4 дерева) (зелёный забор)

Пахом собирает яблоки с пятого дерева от красного забора. Между Пахомом и красным забором 4 дерева.

1. (красный забор) (4 дерева) Пахом Ефим (5 деревьев) (зелёный забор) - всего 11 деревьев
2. (красный забор) (3 дерева) Ефим Пахом (4 дерева) (зелёный забор) - всего 9 деревьев.

Третий класс

Задание

Задача 1

Половина арбуза — это две четверти арбуза. Половина арбуза больше, чем четверть арбуза на четверть арбуза, значит, четверть арбуза весит 3 кг. То есть целый арбуз весит (3 кг)*4 = 12 кг.

Арбуз весит 12 килограмм.

Задача 2

Если поставить 0 в верхнюю левую клетку, сразу получим такое решение

0 + 7 = 7
+   +   +
1 + 2 = 3
=   =   =
1 + 9 = 10

Задача 3

Любое двузначное число, у которого первая цифра 9 больше любого числа, у которого первая цифра не 9. Сделаем из 4 9. Для этого наклоним нижнюю спичку. А верхнюю спичку возьмём из второй цифры. Единственная цифра, которую можно получить, убрав из 8 одну спичку — это 0. Получим число 90.

Было:

     _
|_| |_|
  | |_|

Стало:

 _   _
|_| | |
 /  |_|

Задача 4

Все возможные ответы: 3, 7, 23, 27, 30, 32, 70, 72, 203, 207, 223, 227, 230, 232, 270.

Задача 5

Если первый сказал правду, то второй солгал, тогда третий должен сказать правду, но «Вы оба сейчас солгали» — неправда, так как один сказал правду, а другой солгал. Значит, первый не мог сказать правду, он солгал. Если первый солгал, то второй не солгал, то есть сказал правду. И действительно, третий солгал, сказав, что они оба солгали, так как солгал только один.

Четвёртый класс

Задание

Задача 1

Каждый раз, когда из корзины берут яблоко, чётность количества яблок меняется: если было чётное количество, становится нечётное и наоборот. Поэтому правдивые высказывания должны идти через одно. Это либо первые слова Лешего и слова Кикиморы, либо слова Волка и вторая фраза Лешего. Поскольку первые слова Лешего — про утро, а Кикимора говорит про ночь, эти фразы не могут быть правдой. Получается, что правду сказал Волк («Уже день в разгаре») и Леший во второй раз («Слышите, нас уже обедать зовут?»). Разговор состоялся днём.

Ответ: разговор произвошёл днём.

Задача 2

3 мешка моркови и 6 кулей гороха весят больше, чем 3 мешка моркови и 2 куля гороха, с одной стороны, на вес 4 кулей гороха, а с другой — на вес 15-9 = 6 мешков картошки. То есть 4 куля гороха весят столько же, сколько 6 мешков картошки. 2 куля гороха весят столько же, сколько 3 мешка картошки. 2 мешка картошки и 2 куля гороха весят столько же, сколько 2+3=5 мешков картошки. 5*10 = 50

Ответ: 50 кг.

Задача 3

Сумма всех чисел от 0 до 7 равна 28.

Суммы чисел вдоль верхней и нижней сторон равны 9, значит, сумма чисел в 8 и 4 клетках равна 28-9-9=10.

Суммы чисел вдоль правой и левой сторон равны 9, значит, сумма чисел во 2 и 6 клетках равна 28-9-9=10.

Получается, что сумма чисел в клетках с номерами 2, 4, 6, 8 равна 10+10 =20

Ответ: 20.

Задача 4

У каждой угловой комнаты — 2 соседних через стену. Если хотя бы в одной из этих комнат живёт купец, говоря «Среди моих соседей через стенку больше дворян, чем купцов», житель угловой комнаты лжёт (так как либо купцов больше, либо купцов столько же, сколько дворян). То есть дворянин живёт в угловой комнате только если оба его соседа тоже дворяне.

Получается, что если купец оказался в неугловой комнате на какой-то стороне квадрата, то во всех трёх комнатах вдоль этой стороны тоже должны жить купцы. Всего есть 4 неугловых комнаты — соседние с центральной.

1. Если во всех 4 комнатах, соседних с центральной, живут дворяне, то в центральной клетке тоже живёт дворянин и в угловых клетках тоже живут дворяне. В этом случае 0 купцов.

Д Д Д
Д Д Д
Д Д Д

Если в одной из комнат, соседних с центральной, живет купец, а во всех остальных — дворяне, то в центре тоже живёт дворянин. Тогда во всех комнатах на стороне купца тоже живут купцы, а во всех остальных — дворяне. Получается 3 купца.

К К К
Д Д Д
Д Д Д

В остальных случаях в центральной комнате живёт купец. У него есть не меньше 2 соседей-купцов. Эти 2 купца-соседа центрального купца могут жить либо на противоположных сторонах квадрата, либо на соседних. В первом случае

К К К
_ К _
К К К

обе эти стороны заняты купцами, тогда оставшиеся 2 комныты, соседние с центральной, тоже заняты купцами, потому что у них 3 соседа — купцы. Получается 9 купцов.

Если 2 купца-соседа центрально живут на соседних сторонах, эти стороны полностью заселены купцами

К * _
К К *
К К К

У жильцов комнат, отмеченных * уже есть 2 соседа-купца, значит, в * тоже живут купцы. Получается, что в угловой комнате живет купец. Получается 9 купцов.

Ответ: 0, 3 или 9 купцов.

Задача 5

На вавилонских табличках справа обозначается количество единиц (у числа 40 нет). Левее — количество десятков, меньшее 60 (у числа 65 нет), а потом — количество шестидесяток.

Ответ: на первой табличке 60*2+40 = 160, на второй табличке 10*3+1 = 31, на третьей табличке 60*6+9 = 369.

Пятый класс

Задание

Задача 1

Ответ: 9 клеток.

Предположим, что можно расставить ловушки на болоте с длиной стороны не более 8. В таком болоте не более 81 узла (точки пересечения линий сетки). Каждая ловушка занимает 12 узлов. Значит, 7 ловушек занимают 84 узла, откуда 84 ≥ 81.

Противоречие.

Задача 2

Ответ: 1210

Предположим, есть число меньше. Тогда его первая цифра равна 1, а его вторая цифра не превышает 2. Поскольку вторая цифра полностью определяет третью, если вторая цифра равна 2, число не меньше 1210. Значит, вторая цифра равна 1 (нулём она быть не может в силу неотрицательности третьей цифры), а третья — нулю. Но тогда четвёртая цифра должна быть равна -1.

Противоречие.

Задача 3

1. неверно; контрпример: меч 10 рублей, кольчуга 9 рублей, шлем 2 рубля.
2. неверно; контрпример: меч 10 рублей, кольчуга 6 рублей, шлем 8 рублей.
3. верно; если бы шлем стоил не меньше двух кольчуг, то 2 меча стоили бы
не меньше 2 шлемов, что противоречит условию
4. верно; если бы меч стоил не меньше двух кольчуг, меч и меч стоили бы дороже двух кольчуг и шлема
5. неверно.

Задача 4

Ответ: суббота или понедельник

Между указанными тремя понедельниками ещё два понедельника, приходящиеся на чётные числа. Рассматриваемый месяц содержит хотя бы 29 дней (4 недели плюс понедельник), причём начинаться может в понедельник, воскресенье или субботу (иначе получается уже не меньше 32 дней). Дальше остаётся заметить, что если месяц начинается в воскресенье, то первый понедельник приходится на 2-е число, а оно чётно.

Задача 5

см. решение аналогичной задачи 4 класса

Шестой класс

Задание

Задача 1

Ответ: 2, 3, 5

1) Пусть первый князь честный. Тогда высказывания со второго по четвёртое должны быть ложны (в силу пятого высказывания). Но третье и четвёртое не могут быть одновременно ложными. Противоречие.

2) Пусть второй князь честный. Тогда первый и третий нечестные, но при этом никаких ограничений на истинность их пятого и шестого высказываний это не накладывает.

3) Пусть третий князь честный. Тогда второй нечестный (в силу четвёртого высказывания). Первый тоже нечестный, поэтому его первое высказывание ложно. Значит, оба высказывания третьего князя истинны. Больше никаких ограничений нет.

4,5,6) Нетрудно посчитать, что в случаях, рассмотренных в пп. 2 и 3 ровно три верных высказывания. Неверных, соответственно, тоже 3.

Задача 2

Ответ: 14 и 5.

Если бы они оба работали 4 дня, то кузнец сделал бы на 36 мечей больше. Значит, за 6 дней подмастерье делает 30 мечей. То есть в день 5 мечей. А кузнец — 14 мечей.

Задача 3

Ответ: 2, 3, 5

Пусть общее расстояние S км, скорость телеги V км/ч. Поскольку от места встречи до A 24 км, то время до встречи равно (24/V) ч.

Тогда S = (24/V)(6+V) = 1*V + 24.

Отсюда 6*24 / V = V или 36*4 = V2.

Поэтому V = 6*2 = 12.

Задача 4

Ответ: 120 секунд

Пусть скорость Яги (пешком) равна Я м/сек, а скорость Ивана равна И м/сек. Тогда 30*Я = 10*(И-Я), откуда И = 4Я.

Если Яга ускорится в 3 раза, то Ивану потребуется 30*3Я / (4Я - 3Я) = 90 секунд для догона Яги после окончания действия заклинания. Плюс ещё 30 секунд действует заклинание.

Задача 5

см. решение аналогичной задачи 4 класса

Седьмой класс и выше

Задание

Задача 1

Ответ: 37 гребней.

Если из количества гребней вычесть 1, получится число, делящееся нацело на 2, 3 и 4. Такое число обязано делиться на 12 (3 и 4 взаимно просты).

Перебирая целые положительные числа, делящиеся на 12, получаем первое подходящее число 36. Значит, у Василисы было 37 гребней.

Задача 2

Ответ: 2, 4, 6, 7.

Пусть одна сторона холма (со стороны одноимённого пункта) А км, а другая — Б км. Тогда имеем систему уравнений:

А/10 + Б/20 = 2
Б/10 + А/20 = 5/2

которая эквивалентна системе

2А + Б = 40
2Б + А = 50

Вычитая два вторых уравнения из первого, получаем, что Б=20. Отсюда А=10.

Задача 3

Ответ: 1, 3, 4, 7.

Третий врёт (первый и второй не могут одновременно врать).

Четвёртый прав, поэтому третий — разбойник, а четвёртый — купец.

Первый и второй не могут одновременно говорить правду и оба без денег. Значит, один из них купец, а другой — разбойник. Первый врёт, поэтому он купец. Значит, второй — разбойник.

Задача 4

Например, допустим следующий пример.

7 3 6

4   5

2 8 1

Задача 5

Ответ: 5, 7, 9, 11, 13.

Пусть было Б богатырей помимо Добрыни Никитича, причём ровно Д из них сражались с Добрыней. Тогда, подсчитав удвоенное количество матчей (сложив количества матчей, в которых участвовал каждый из богатырей), получим уравнение:

a1 + a2 + ... + aД + 
+ b1 + b2 + ... + bБ-Д +
+ Д = 14

в котором a_i и b_j — количества матчей, в которых участвовали соответствующие богатыри. Взяв остаток при делении обеих частей равенства на 2, получим:

(Б-Д) + Д = 0 (по модулю 2)

Поэтому богатырей помимо Добрыни чётное количество. То есть общее количество богатырей нечётно.

Если богатырей 3 или меньше, то матчей не более 6. Значит, богатырей хотя бы 5. Если богатырей 15 или больше, то матчей не менее 8. Все остальные варианты подходят: для каждого из них можно привести соответствующий пример.