Комбинированные задачи
. Найти объем цилиндра, описанного около этой призмы.Решение.
По свойству вписанных в окружность углов гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности. Т.е. АВ = 2R.По теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2 = 72 + 82 = 113;
Таким образом, объем цилиндра:
Ответ: 226.Пример 2.Куб с ребром а вписан в цилиндр. Найти площадь осевого сечения цилиндра.Решение.
Диагональ квадрата АВСD является диаметром основания цилиндра. По теореме Пифагора:CD2 + AD2= AC2 ; a2 + a2 = AC2 ; 2a2 = AC; AC = a
.Высота осевого сечения цилиндра АА1С1С равна длине ребра куба a.Таким образом, площадь сечения равна:S =АС·АА1 = a · a = a2.Ответ: a2.Пример 3.В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45°. Найти объем цилиндра.Решение.
Объем цилиндра найдем по формуле: V = R2h.Большая боковая грань призмы — это осевое сечение цилиндра.Основание цилиндра одновременно является окружностью, описанной вокруг прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы, при этом АВ = 2R — гипотенуза.В прямоугольном 
АВС:cos60 = AC/АВ, 0,5 = 2а/2R = а/R, R = 2а, АВ = 2R = 4a.AA1B — прямоугольный и равнобедренный, т.к. углы 
AA1B = A1BА = 45°. Высота цилиндра равна диаметру основания, т.к. осевое сечение цилиндра — квадрат, т.е. АВ = АА1 = 4a.Итак, V = (2а)2·(4а) = 16а3.Ответ: 16а3.Пример 4.Около прямой четырехугольной призмы описан цилиндр. Основание призмы — прямоугольник, диагональ и меньшая сторона которого образуют угол 60°. Площадь боковой поверхности призмы равна 120
, а расстояние между боковым ребром и скрещивающейся с ним диагональю основания равно 1 + . Найти объем цилиндра.Решение.
- 1) Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямая призма, основания которой прямоугольники, диагонали которых пересекаются в точках О и О1 соответственно. Поскольку диагонали прямоугольника равны между собой и делятся точками пересечения пополам, О и О1 — центры оснований цилиндра, описанного около данной призмы, ОА — радиус этого цилиндра, АА1 — высота цилиндра, поскольку вписанная в него призма —прямая.2) Пусть АР — высота
АВD, АР 
ВD. АА1 АВС, поэтому АА1 АР. Таким образом, АР — общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым ВD и АА1, которые содержат боковое ребро призмы АА1 и диагональ ее основания ВD. Значит, длина отрезка АР равна расстоянию между этими скрещивающимися прямыми. По условию АР = 1 + .3) Пусть АВ >ВС, тогда по условию СВD= 60° и, значит, ADB = АСВ = САD = 60°. ADO равнобедренный и ADO = 60°. Значит, ADO равносторонний, и АР — его высота, так как АР ОD.4) Пусть AD =a, АА1 = b. Тогда АР= a / 2, и из равенства a/2 = 1 + найдем:a = 2(1 + )/. Диагональ ВD = 2ОD =2a. По теореме Пифагора в ADB найдем: 
Так как призма прямая, то площадь ее боковой поверхности равна Sб = 2(АВ + ВС)АА1. То есть Sб = 2a(1 + )b.По условию Sб = 120. Имеем уравнение 120 = 2a(1 + )b.Отсюда b = 60/(a(1 + )).Подставляя a = 2(1 + )/, получим: b = 60/(2(1 + )(1 + ) )/ = 90/(1 + )2.5) Теперь можем найти объем цилиндра:
.Пример 5.Внутри правильного тетраэдра АВСD с ребром, равным 12, расположен конус, вершина которого является серединой ребра СD. Основание конуса вписано в сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра ВС параллельно прямым СD и АВ. Найти объем конуса.Решение.
- 1) Пусть в тетраэдре АВСD точки M, N, К, L — середины ребер АС, АD, ВD и ВС соответственно. Тогда отрезки MN и KL — средние линии
АСD и BCD, параллельные их общей стороне СD. Поэтому MN || KL, аналогично NK || ML. Значит, MNКL — параллелограмм. По свойству средней линии треугольника KL = 0,5СD и NK = 0,5АВ. Но в правильном тетраэдре АВ = СD, поэтому KL = NK. Поэтому параллелограмм MNКL — ромб. Пусть точка Р — середина ребра СD. Т.к. все грани тетраэдра — правильные треугольники, то СD АР и СD ВР. Таким образом, СD АРВ и, значит, СD АВ. Но KL || DC и NK || AB, поэтому ромб MNКL — квадрат.2) Пусть точка О — центр квадрата, тогда его вписанная окружность касается его сторон MN и KL в их серединах — точках Q и T соответственно и точка О — середина отрезка QT. QTР равнобедренный и поэтому его медиана РО QT. Аналогично РО перпендикулярна прямой, соединяющей середины сторон NK и ML квадрата MNКL. Отсюда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что РО MLК.Поэтому РО — высота конуса, а его радиус равен половине длины стороны квадрата MNКL. Поэтому объем конуса можно найти по формуле:Vк = ( KL/2)2·РО/3.3) По условию ребро тетраэдра равно 12, тогда KL = 6, ОТ = 0,5KL = 3, ВР =6, РТ = 0,5ВР = 3. В РОТ по теореме Пифагора найдем РО2 = РТ2 – ОТ2 = 27 – 9 =18. Отсюда РО = 3.4) Объем конуса: Vк = ( KL/2)2·РО/3 = ·9·3 = 9..Пример 6.В шар радиуса 
вписана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Прямая АВ1 образует с плоскостью АСС1 угол 45°. Найти объем призмы.Решение.
Пусть D1 — середина ребра А1С1. Так как призма правильная, то B1D1 А1С1 и B1D1 СС1 и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости B1D1 АСС1 . Значит, B1АD = 45° как угол между прямой B1А и плоскостью АСС1 .- 1) Пусть М и М1 — центры оснований призмы, а О — середина отрезка ММ1. Тогда АМ = ВМ = СМ и А1М = В1М = С1М. Так как призма правильная, то ОМ
АВС. Следовательно, по свойству наклонных и проекций ОА = ОВ = ОС и ОА1 = ОВ1 = ОС1. Так как ОМ = ОМ1 и АМ = А1М1, то прямоугольные треугольники ОМА и ОМ1А1 равны по двум катетам. Значит, ОА = ОА1. Следовательно точка О равноудалена от всех вершин призмы и поэтому является центром описанного около нее шара. Из условия радиус шара ОА = r = .2) Пусть АВ = a. Тогда B1D1 = a / 2. Но B1D1А прямоугольный и, B1АD = 45°. Следовательно, BА = B1D1/sin45 = a
/ 2.Из АВВ1 находим 
3) Отрезок МА = 2/3 B1D1 = a/, отрезок ОМ = 1/2 ВВ1 = a/(2). Поэтому из прямоугольного МОА имеем:ОА2 = ОМ2 + АМ2 = a2/8 + a2/3 = 11, откуда a = 2. / 4, ВВ1 = a / .Отсюда V = 36.Ответ: 36.Пример 7.Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания АВС пирамиды. Площадь сферы равна 48. Точка М лежит на ребре АВ так, что АМ : МВ = 3 : 5. Точка Т лежит на прямой АF и равноудалена от точек М и В. Найти объем пирамиды ТАСМ.Решение.
- 1) Пусть О — центр сферы радиуса R, описанной около пирамиды FABC. Площадь сферы радиуса R равна S = 4
R2. По условию 4R2= 48, отсюда R = 2. Так как О 
АВС, то точка О является центром окружности радиуса R, описанной около АВС. АВС — правильный, поэтому точка О — точка пересечения его медиан.Отсюда АВ = ОА = 6.2) FABC — правильная пирамида, поэтому FО — ее высота и плоскость АFО АВС. По условию ТАF и ТМ = ТВ. Опустим из точки Т перпендикуляр ТН на прямую АО. Так как АFО АВС, то ТН АВС и, значит, ТН — высота пирамиды ТАСМ, а отрезки НМ и НВ — проекции равных наклонных ТМ и ТВ. Таким образом, НМ = НВ, и поэтому НВМ равнобедренный, а его высота НР является медианой, т.е. РМ = РВ.3) Объем VTACM пирамиды ТАСМ найдем по формуле: VTACM = SACM· ТН/3.Из условия АМ : МВ = 3 : 5 имеем АМ = 3АВ/8 = 9/4. Отсюда МР = 15/8 и АР = 33/8. В прямоугольном АНР угол А = 30°, поэтому АН = АР/cos30 =11/4.Так как ОА = ОF, то прямоугольный AOF равнобедренный, поэтому в прямоугольном АТН А = 45° и, значит, АН = ТН. Медиана СN правильного АВС является его высотой. Поэтому СN — высота АСМ. Следовательно, площадь AСМ можно найти по формуле: SACM = СN·АМ/2. Имеем СN = 3СО/2 = 3 и SACM =27
. Тогда VTACM=1/3· 11/4· 27 = 297/32.
- 1) Пусть АВ = 2R — диаметр сферы, а О — ее центр. Точки С и D лежат на сфере, поэтому ОА = ОВ = ОС = ОD = R и сечения сферы плоскостями АВС и АВD — окружности радиуса R, описанные вокруг треугольников АВС и АВD. Значит,
АDВ = АСВ = 90° как вписанные углы, опирающиеся на диаметр.2) Пусть Н — высота пирамиды АВСD, равная расстоянию от точки D до плоскости АВС, и h — высота АВС, опущенная на сторону АВ. Поскольку точка D лежит на сфере, а плоскость АВС содержит центр сферы, то 
,причем Н = R, если DО АВС. Аналогично, поскольку точка С лежит на сфере, то 
, причем h = R, если СО АВ. Пирамида АВСD имеет объем VABCD = SABC·H/3.Следовательно, VABCD =1/2· AB·h·H/3 = 2R·R·R/6 = R3/3.Таким образом, пирамида имеет наибольший объем, если АВD и АВС прямоугольные и равнобедренные.3) Т.к. DО АВС, то DО ОС. Но АВ ОС, и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, СО АВD. Значит, ОМ — проекция СМ на плоскость АВD, и поэтому СМО — угол между прямой СМ и плоскостью АВD.4) Пусть СМО = 
. Т.к. ОА = R, а BOD равнобедренный, то ОМ = R/.Отсюда tg = ОС/ОМ = R/(R/) = ..Список используемой литературы Видеолекция «Комбинированные задачи»: 
