Призма
называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой.Грани призмы, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами.Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Поэтому в основаниях лежат равные многоугольники.Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы.Высота призмы равна расстоянию между плоскостями оснований.Сечение призмы плоскостью, проведенной через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называется диагональным сечением призмы.Прямой призмойназывается призма, у которой боковые ребра перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными.Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.Пусть l — боковое ребро; P — периметр основания; Sосн — площадь основания;H — высота; Pсеч — периметр перпендикулярного сечения; Sсеч – площадь перпендикулярного сечения; Sб — площадь боковой поверхности; V — объем; Sпп — площадь полной поверхности призмы .Произвольная призма:Sб = Pсеч ·l, V = Sосн ·H, V = Sсеч ·lПрямая призма:Sпп = Sб + 2Sосн , Sб = P·H, V = Sосн·HРешение задачПример 1.Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна площади основания. Вычислите длину бокового ребра, если сторона основания 7см.Решение.Площадь основания призмы найдем по формуле: 
По условию эти площади равны, т.е.: 
Ответ: 
.Пример 2.Найти площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой 6 см, а высота - 10 см.Решение.Площадь основания призмы находится по формуле: 
Ответ: 
Пример 3.Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота, проведенная к основанию равна 8см, высота призмы равна 12см. Найдите полную поверхность призмы, если боковая грань что содержит основание треугольника — квадрат.Решение.
Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то естьS = 2SABC + SA1C1CA + 2SABB1A1 .Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см (основание треугольника одновременно является стороной грани).
Ответ: 480 см2.Пример 4.Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 и 3 см и углом 120 градусов между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2, найти площадь боковой поверхности.Решение.
По теореме косинусов:a2 = b2 + c2 - 2bc·cos
AC2 = AB2 + BC2 - 2·AB·BC·cos120AC2 = 25 + 9 - 2·5·3·cos120AC2 = 34 - 30 ·(-0.5)AC2 = 49, AC = 7 см.Каждая из граней боковой поверхности представляет собой прямоугольник с высотой, равной высоте призмы. Таким образом, боковая грань призмы наибольшей площади лежит на той стороне основания, длина стороны которого наибольшая.То есть наибольшая из боковых граней имеет длину 7 см.Тогда высота призмы равна 35/7 = 5 см.Sб = 5·5 + 3·5 + 7·5 = 75 см2Ответ: 75 см2 .Пример 5.В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности.Решение.
Sосн = a2 = 144, a = 12 см.d2 = a2 + a2 + c2 = 144 + 144 + 196 = 484 , d = 22 см.Sпп = 2Sосн + 4Sб.Sпп = 2· 144 + 4·12·14 = 288 + 336 = 624 см2 .Ответ: диагональ 22 см, площадь полной поверхности 624 см2 .Пример 6.Определить полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.Решение.
По теореме Пифагора:d2 = a2 + c2, D2 = a2 + a2 + c2 = 2a2 + c2.Получим два уравнения с двумя неизвестными:16 = a2 + c2,25 = 2a2 + c2.Вычтем из второго уравнения первое: a2 = 9, a = 3.Тогда 
.Sпп = 2Sосн + 4Sб.
Ответ: 
см2 .Пример 7.Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 
см и углом, равным 30 градусов. Диагональ DB1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности призмы.Решение.
По теореме косинусов:d2 = a2 + b2 - 2abcos30
Ответ: 
.Пример 8.В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом . Отношение высоты призмы к стороне основания равно k. Через сторону основания и середину противоположного бокового ребра проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.Решение.
Обозначим искомый угол 
; а отрезок ВС = х.По теореме о трех перпендикулярах: 
, поэтому 
.
Ответ: 
Пример 9.Все ребра призмы ABCA1B1C1 равны между собой. Углы ВАА1 и САА1 равны по 
. Найти расстояние от точки С1 до плоскости СА1В1 , если площадь грани АВВ1А1 равна 
.Решение.
Так как все ребра равны, то все боковые грани призмы — ромбы, а основания — правильные треугольники. Боковые грани АВВ1А1 и АСС1А1 — ромбы с углом , поэтому обозначим ВА1 = СА1 = СВ1 = х.Площадь грани АВВ1А1 равна 
Из условия получаем уравнение: 
Проведем диагонали ромба СВВ1С1. Они перпендикулярны, значит, 
. Т.к. 
равнобедренный, то его медиана является высотой и 
. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
. Поэтому С1О является искомым расстоянием от точки С1 до плоскости СА1В1. Наклонные к плоскости (СА1В1) С1А1 и В1С1 равны, следовательно равны их проекции ОВ1 = ОА1 . Наклонные СА1 и А1В1 тоже равны, следовательно их х проекции ОС и ОВ1 тоже равны. Тогда 
СА1О = ОС1А1
ромб СВВ1С1 - квадрат. С1О — диагональ квадрата со стороной 4. 
Ответ: 
Список используемой литературы Видеолекция «Призма»: 
