Параллелепипед и куб
Основные теоретические сведенияПараллелепипедом называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы.Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основаниям.Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники. Длины трёх ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями.Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.Кубом называется прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.Прямоугольный параллелепипед (a, b, c — его измерения, d — диагональ):Sб = Рсеч·Н, Sполн = 2(ab + ac + bc)V = Sосн ·H, V = abc, d2 = a2 + b2 + c2.Куб: V = a3, Sполн = 6а2.Свойства прямоугольного параллелепипеда и куба: Пример 1.Ребро куба равно 3. Найти расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины.Решение.Найдем расстояние Н от вершины куба А до диагонали ВС = D.Из АКВ: d2 = a2 + a2 = 9 + 9 = 18, .Из АВС: D2 = d2 + a2 =18 + 9 = 27, .Из прямоугольного АВС: Ответ: .Пример 2.Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхности. Длина параллелепипеда равна 18 м, что в 2 раза больше его ширины и на 8 м больше его высоты. Найти ребро куба.Решение.Измерения параллелепипеда: ширина 18/2=9 м, высота 18-8=10 м, длина 18 м.S = 9·10·2 +9·18·2+10·18·2=180+324+360=864, 864/6=144, a2=144, a=12 м - ребро куба.Ответ: 12.Пример 3.Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.Решение.Площадь поверхности получившегося многогранника равна сумме площадей 6 граней куба со стороной 1, четырех граней параллелепипеда со сторонами 1 и 0,5 минус 2 площади основания вырезанной призмы:S = 6 + 4(0,5·1) – 2(0,5·0,5) = 7,5.Ответ: 7,5.Пример 4 .Дан прямоугольный параллелепипед. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен ?. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен ?. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если диагональ основания равна k.Решение.АВС — прямоугольный:AB = k·cos, BC = k·sin. Периметр основания Росн = 2k(cos + sin).Прямая АВ перпендикулярна плоскости грани ВСС1В1, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым ВС и ВВ1 этой плоскости. Поэтому , т.е. ВАС1 — прямоугольный, и ВС1 = АВ·tg = kcostg.Из прямоугольного ВСС1: Следовательно, Sб = Росн·CC1,Ответ: Пример 5.В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда — 8 см. Найдите площадь его полной поверхности.Решение.Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора сторона основания см, поэтому периметр ромба равен 40 см.Боковая поверхность Sб = Росн·CC1 = 40 · 8 = 320 см2.Площадь ромба Sромба = 2SABC = 2·(AC·OB)/2 = AC·OB =16· 6 = 96 см2.Площадь полной поверхности Sпп = 2Sромба + Sб = 2·96 + 320 = 512 см2.Ответ: 512.Пример 6.Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Определите высоту параллелепипеда, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро равно 5 см.Решение.Поскольку одна из вершин основания параллелепипеда (обозначим ее F) одинаково удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда, то вместе с диагональю нижнего основания (обозначим ее AC) она образует равнобедренный AFC. AF = FC по условию. Одновременно, BF — это ребро параллелепипеда.Таким образом, в равнобедренном треугольнике AFC стороны равны следующим величинам: AF = FC = 5 см , AC = 8 см.Высота FK равнобедренного AFC одновременно, будет являться высотой параллелепипеда. Кроме того, высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам. Откуда, по теореме Пифагора высота будет равна:FK2 + (AC/2)2 = FC2FK2 + 16 = 25FK2 = 9FK = 3 смОтвет: 3.Пример 7.Найти площадь основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , если DB1 = 6 см, DB = 5 см, BC1 = 4 см.Решение.Для нахождения длин сторон (поскольку параллелепипед прямоугольный, а значит, все ребра пересекаются под прямым углом ) используем теорему Пифагора.В прямоугольном DBB1:, причем BB1 = СС1 = 3.В прямоугольном BC1C:В BCD: Откуда площадь основания параллелепипеда равна:Ответ: Пример 8.Основание прямого параллелепипеда — ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны P и Q .Решение.Площадь первого сечения выразим какP = hd1 , где h — высота параллелепипеда, d1 — длина диагонали.Площадь второго сечения выразим какQ= hd2 , где h — высота параллелепипеда, d2 — длина диагонали.Соответственно, d1 = P/h, d2 = Q/h.Площадь боковой поверхности равна S = 4ah, где a — длина стороны ромба, h — высота параллелепипеда.По теореме Пифагора ТогдаОтвет: Пример 9.Угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда равен . Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол . Найти высоту параллелепипеда, если его объем V.Решение.Пусть высота АА1 = х.А1АС: tg = x/АС, т.е. АС = х·сtg.Основание — прямоугольник, в котором диагонали равны: АС = BD.Из курса планиметрии: Подставим все, что нашли в формулу: V = Sосн·H и выразим высоту АА1 =х:Ответ: Пример 10.Диагонали АВ1 и СВ1двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 составляют с диагональю АС основания ABCD углы, соответственно и . Найти угол между плоскостью треугольника АВ1С и плоскостью основания.Решение.Обозначим искомый угол , а отрезок В1Т = х.АТВ1 : tg = x/АТ, т.е. АТ = х·сtg.СТВ1 : tg = x/СТ,т.е. СТ = х·сtg.АВС : , по формулам планиметрии ВТ2 = АТ·СТ, т.е.В1ВТ:Значит, Ответ: Список используемой литературы Видеолекция «Параллелепипед и куб»:
Перейти к выполнению теста: Тест. Параллелепипед и куб
В начало