Пирамида
Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды. Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник.Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и все боковые ребра равны.Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена — правильная.Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.Элементы пирамидыСвойства пирамиды
  1. Если в пирамиде все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.
  2. Если в пирамиде длины всех боковых ребер равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.
  3. Если в пирамиде все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
  4. Если в пирамиде длины всех апофем боковых граней равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
  5. Боковые ребра правильной пирамиды — равны.
  6. Боковые грани правильной пирамиды — равные друг другу равнобедренные треугольники.
  7. Боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы.
  8. Апофемы правильной пирамиды равны.
  9. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
  10. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.
  11. Все боковые грани правильной усеченной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные трапеции (углы при основаниях равнобедренной трапеции равны).
  12. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все плоские углы при основаниях равны.
  13. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основаниях равны.
  14. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при боковых ребрах равны.
  15. Центром описанной, около пирамиды, сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу.
  16. В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке. Эта точка будет центром сферы.
  17. Если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания.
  18. Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой.
  19. Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой.
  20. Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.
  21. Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью, вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
  22. Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник.
  23. Свойства тетраэдра
    1. Биссектральные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке — центре вписанной сферы.
    2. Плоскости, проходящие через середины ребер тетраэдра и перпендикулярные этим ребрам, пересекаются в одной точке — центре описанной сферы.
    3. Прямые, перпендикулярные граням тетраэдра, и проходящие через центры их описанных окружностей, пересекаются в одной точке — центре описанной сферы.
    4. У тетраэдра существует сфера, касающаяся всех его ребер, тогда и только тогда, когда суммы противоположных ребер этого тетраэдра равны.
    5. Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке — центроиде тетраэдра и делятся в этой точке в отношении 3 : 1, считая от вершины.
    6. Точка пересечения высот правильного тетраэдра делит каждую из его высот в отношении 3:1, считая от вершины, и является центром его вписанной и описанной сфер. При этом, если ребро правильного тетраэдра равно b, то его высота .
    7. Теорема (Менелая). Пусть на ребрах AB, BC, CD и AD тетраэдра ABCD взяты соответственно точки A1, B1, C1 и D1. Для того чтобы эти точки лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство.
    8. Теорема (Чевы). Пусть на ребрах AB, BC, CD и AD тетраэдра ABCD взяты соответственно точки A1, B1, C1 и D1. Плоскости ABC1, BCD1, CDA1 и DAB1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда.
    9. Бимедианы тетраэдра АС и BD, т.е. отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке О — центроиде.
    10. Основанием высоты прямоугольного тетраэдра, проведенной из вершины с прямыми плоскими углами, является точка пересечения высот противоположной грани.
    11. Теорема (Пифагора). Квадрат площади грани прямоугольного тетраэдра, лежащей против вершины с прямыми плоскими углами, равен сумме квадратов площадей остальных граней этого тетраэдра:SACB2 =SADC2 + SADB2 + SCDB2.
Формулы, связанные с пирамидойРешение задачПример 1.Основание тетраэдра DABC треугольник со сторонами 13 см,14 см, 15 см. Расстояние от точки D до сторон треугольника основания равны 5 см. Найти расстояние от точки D до плоскости АВС.Решение.Расстояние от вершины до плоскости основания равно высоте, которая опущена из вершины на основание.Величины апофем пирамиды равны по условию задачи. Высота, опущенная из вершины, является центром вписанной в основание окружности. Таким образом, прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды и апофемой — равны по двум катетам.Найдем радиус вписанной в основание окружности. Формула радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник: S = pr, гдеПо теореме Пифагора: DE2 = h2 + r2, h2 = 25 - 16 , h2 = 9, h = 3 (см).Ответ: 3.Пример 2.Найдите величину двугранного угла правильного тетраэдра.Решение.Надо найти угол между двумя пересекающимися медианами двух боковых граней.По теореме Пифагора По теореме косинусов:Ответ: arccos(1/3).Пример 3.В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8 см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Высота пирамиды равна 12 см. Вычислить боковые ребра пирамиды.Решение.Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Кроме того АО = ОС = ОВ = r,поэтому AB = 10 см.ANO =DNO =CNO по двум катетам, поэтому боковые ребра пирамиды равны. Итак, AN = NB = NC найдем по теореме Пифагора: AN2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 ,AN = , AN = 13.Ответ: 13, 13, 13.Пример 4.В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при основании . Все боковые грани образуют с основанием угол . Найти площадь полной поверхности пирамиды.Решение.Найдем площадь основания как площадь равнобедренного треугольника, состоящего из двух прямоугольных. В прямоугольном AKС:AK = AС sin = b sinСK = AС cos = b cosSABK = AK·СK/2 = b2sincos / 2, откудаSABC = 2SABK = b2sin cos = 0,5b2sin 2(по формуле двойного угла).Площадь боковой поверхности пирамиды:Sб =SADC + SADB + SBDC = 2SADC + SBDC.Высота пирамиды проецируется в точку О основания, которая одновременно является центром вписанной окружности с радиусом ОЕ = r. Радиус вписанной окружности найдем как r = S/p.Учитывая, что BC = 2СK, то BC = 2bcos, найдем полупериметр основания:p = (b + b + 2bcos) / 2, p = (2b + 2bcos ) / 2, p = 2b(1 + cos) / 2, p = b(1 + cos).Радиус вписанной окружности: r = S / p,r = 0,5b2sin2 / b(1 + cos) = 0,5b sin2 / (1 + cos).Апофемы пирамиды равны:DG = DK = DE = r/cos = 0,5b sin2 / (1 + cos)cosSADB = AB·DE/2 = 0,25b2sin2/(1 + cos)cos.SBDC =BC·DK/2 = 2bcos·0,5bsin2/2(1 + cos)cos = 0,5b2cos sin2/(1 + cos)cosSб = 2·0,25b2sin2/(1 + cos)cos + 0,5b2cos sin2/(1 + cos)cosSб = 0,5b2sin2(1 +cos) / (1 + cos)cosSб = 0,5b2sin2 / cosSп = SABC + Sб = 0,5b2sin2 + 0,5b2sin2/ cosSп = 0,5b2sin 2[1 + 1/cos]Ответ: 0,5b2sin 2[1 + 1/cos].Пример 5.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна b. Двугранные углы при основании равны . Найти площадь полной поверхности пирамиды.Решение.Поскольку пирамида правильная, то ее высота проецируется в центр основания.Значит KN = b/2.OKN — прямоугольный: ON = KN/cos = b/2cos Площадь DOC: SDOC = DC·ON/2,SDOC = (b·b/2cos )/2 = b2 /4cos .Площадь боковой поверхности правильной пирамиды будет равна площади всех ее боковых граней:Sб = 4b2/4cos = b2/cos .Площадь полной поверхности пирамиды : Sп = b2/cos + b2 = b2 (1 + 1/cos).Ответ: b2(1 + 1/cos).Пример 6.В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна b, высота равна 3b. Найдите углы наклона боковых рёбер и боковых граней к плоскости основания.Решение.Обозначим углы наклона боковых граней к плоскости основания ONK = , а углы наклона боковых ребер к плоскости основания OСK = .OKN - прямоугольный, OK= 3b, KN = b/2, tg = OK/KN = 3b/(b/2) = 6, = arctg 6Диагональ квадрата со стороной b равна .OKC — прямоугольный: (обозначим KCO =)Ответ: угол наклона граней arctg 6; угол наклона ребер Пример 7.Найти величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, если её боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом .Решение.Обозначим искомый угол NKO =.Поскольку боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды наклонены к основанию под углом , то в ANCANC =. Т.е. ANC - прямоугольный, причем NOC = ANO — прямоугольные и равнобедренные, NO = OC.Пусть длина ребра пирамиды равна b, тогда, исходя из того, что треугольник ANC — прямоугольный равнобедренный,AC2 = NC2 + AN2 = 2b2, AC = b, откуда OC = AC/2 = b/2 = b/ = NO.В прямоугольном COD: CD2 = OC2 + OD2 = 2OC2 = 2(b/)2 = b2, CD = b, тогдаKC = CD/2 = b/2,OK2 = OC2 - KC2 = (b/)2 – (b/2)2, OK = b/2.В прямоугольном KON: tg = NO/OK = b/ : b/2 = . Откуда = arctgОтвет: arctg.Пример 8.Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 см2. Вычислить периметр основания пирамиды.Решение.Так как основание правильной пирамиды и боковые грани являются равносторонними треугольниками, то все боковые грани равны и все ребра пирамиды одинаковые. Площадь боковой грани найдем как площадь равностороннего треугольника: Тогда периметр основания пирамиды равен 8·3 = 24 см.Ответ: 24.Пример 9.В правильной треугольной пирамиде высота равна 10 см, а сторона основания 16 см. Найти площадь боковой поверхности.Решение.Основанием треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, поэтому AO является радиусом описанной около основания окружности, ОК — радиусом вписанной окружности, которые найдем из формул: Тогда R = АО = 16/, r = ОК = 8/,АК = КС sin60 = 4.Sосн = BC·AK/2 = 16·4 /2 = 32 — площадь основанияМОК: МК2 = МО2 + ОК2 = 100 + (8/)2 = 364/3, Ответ: Пример 10.Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.Решение.Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим апофему KM:OК — это радиус вписанной окружности, Тогда Откуда площадь полной поверхности будет равнаОтвет: Пример 11.Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.Решение.Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, sinOKM = MO/MK = 1/2откуда OKM = arcsin1/2 =. Тогда cos30 = KO / MK, /2 = KO/ 8,KO = 8 /2 = 4KO — это радиус вписанной окружности в основание правильной треугольной пирамиды.Площадь боковой грани найдем, как площадь равнобедренного треугольника:Sб = 1/2 · 24 · 8 = 96 см2.Откуда площадь боковой поверхности пирамидыS = 3·Sб = 3 · 96 = 288 см2.Ответ: 288 см2.Пример 12.Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро .Решение.Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a2 .Тогда S = 3.Ответ: 3.Пример 13.Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной см.Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к основанию, а два других наклонено к плоскости основания под углом . Найти площадь боковой грани.Решение.По условию ABC — равносторонний. SA — перпендикуляр к плоскости ABC, AB = . Так как SA — перпендикулярно плоскости ABC, то AB — проекция SB, AC — проекция SC. Отсюда SBA = SCA = .Проведем медиану AD(она же и высота) в ABC. Соединим точки S и D. По теореме о трех перпендикулярах (гипотенуза ASD больше катета).Так как, а то наибольшую площадь имеет грань SBC.Из ASc имеем: .Из ADC имеем: .Из ASD имеем:Тогда площадь: Ответ: Пример 14.В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2 см, а высота пирамиды 4 см. Найти угол наклона боковых ребер к плоскости основания.Решение.Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ABCM с основанием ABC, AB = BC = AC = 2 см, высотой MO = 4 смИскомым углом является MAA1.Вычислим длину AA1. ABC — равносторонний со стороной AC = 2 см. Так как A1C = 1 см, то есть возможность применить теорему Пифагора для A1CA, в котором A1 = :Воспользуемся далее свойством медиан произвольного треугольника: медианы треугольника пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении 1:2. Поэтому .Обратим внимание, что для нахождения MAA1 нужно рассмотреть АОМ, в котором катет MO = 4 см (по условию задачи), второй катет (по вычислению). Так как нам известны длины двух катетов в прямоугольном треугольнике АОМ, то для нахождения искомого угла обратимся к тангенсу острого угла прямоугольного треугольника.Ответ: Список используемой литературы Видеолекция «Пирамида»:
Перейти к выполнению теста: Тест. Пирамида
В начало