Пределы функций
— серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения (глобальный подход), но и около конкретной точки (локальный поход). Такой анализ практически всегда связан с понятием предела функции. Изучение в дальнейшем производной основано на понятии предела, поэтому так важно разбираться в данной теме.Определение и свойства пределов функцииФункция f (x) имеет предел A в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0 (в окрестности U(x0)), значение f (x) близко к A. При этом x0 может не принадлежать области определения функции D(f) , хотя окрестность точки x0 U (x0) принадлежит D(f). На графике это выглядит как выколотая точка.
Обозначение: 
или: 
Рассмотрим с помощью некоторых известных графиков функций понятие предела на бесконечности.
функция |
x → -∞ |
x → +∞ |
x → 0 |
f (x) = x2 |
→ +∞ |
→ +∞ |
→ 0 |
f (x) = 1 / x |
→ 0 |
→ 0 |
→ +∞, -∞ |
f (x) = x3 |
→ -∞ |
→ +∞ |
→ 0 |
графика функции y = f (x), если выполняется одно из равенств:
(рис. 1 
)или 
или 
Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если выполняется одно из равенств:
(рис. 2 
)или 
или 
Прямая y = ax + b является наклонной асимптотой графика функции y = f (x), если выполняется одно из равенств:
(рис. 3 
)или 
или 
Пример.По графику y = f (x) найти:
Свойства пределов функции- Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
- Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:
Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций. - Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
- Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
- Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Следующие пределы считают неопределенностью: 
. Если в примере встретилась неопределенность, то надо найти пути для ее устранения. Общие правила:- 1) если в числителе и знаменателе находятся многочлены
, и имеется неопределенности вида 
или 
, то для решения нужно разложить числитель и знаменатель на множители или разделить на максимальную степень числителя (или знаменателя) и числитель и знаменатель;2) если же в числителе или в знаменателе находятся иррациональные выражения и имеется неопределенности вида или , то для решения надо избавляться от иррациональности, помножив и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение;3) если же в числителе или в знаменателе находятся тригонометрические выражения и имеется неопределенности вида или , то для решения используют формулу замечательного предела 
Пример 2.Найти предел функции:
Пример 3.Найти предел функции:
Пример 4.Найти предел функции:
Пример 5.Найти предел функции:
Пример 6.Найти предел функции:
Пример 7.Найти предел функции:
Пример 8.Найти предел функции:
Пример 9.Найти предел функции:
Пример 10.Найти предел функции:
Непрерывность функцииМы интуитивно понимаем, что если функция непрерывна, то мы можем ее нарисовать, не отрывая карандаша от листа бумаги.Функция у = f (x) называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.Чтобы понять, что такое непрерывность функции в целом, сначала надо разобраться, что такое непрерывность функции в точке.Функция у = f (x) называется непрерывной в точке х = с, если предел функции в точке х = с равен значению функции в этой точке:
Т.е. должны выполняться одновременно три условия:- 1) функция определена и в самой точке х = с и в некоторой окрестности этой точки, причем U(с) ϵ D(f);2) существует
;3) A = f(c).Непрерывная функция |
Разрывная в т. х = 1 |
Разрывная в т. х = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РешениеНайдем область определения функции: 5x + 7 ≠ 0, x ≠ -1,4.Ответ: -1,4.Пример 12.Найти сумму значений точек разрыва функции 
РешениеНайдем область определения функции: х2 + 2х — 3 ≠ 0. По теореме, обратной к теореме Виета: х1 ≠ 1, x2 ≠ -3.Далее находим сумму значений 1 + (-3) = -2.Ответ: -2.Пример 13.Указать точку разрыва функции:
РешениеПостроим график данной функции на указанных промежутках. Видим, что целостность функции нарушается при х = 2.Ответ: 2.Список используемой литературы Видеолекция «Пределы функций»: 
