Окружность и круг
— множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки.Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.Диаметр — хорда, проходящая через центр.Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.Центральный угол (
) — угол с вершиной в центре окружности.Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность (рис. 1
).Теоремы, относящиеся к понятию «окружность»:- радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;
- диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей;
- квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть;
- центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается;
- вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, или дополняет его половину до 180°;
- касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны;
- произведение секущей на ее внешнюю часть — величина постоянная.
называется множество точек на плоскости, расстояние которых от некоторой данной точки плоскости (называемой центром круга) не больше данного.Пусть r — радиус; С — длина окружности; S — площадь круга:
Сектором называется часть круга, ограниченная двумя его радиусами.Сектор:(l — длина дуги, ограничивающей сектор; α — градусная мера центрального угла; φ — радианная мера центрального угла):
Пример 1.Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. Расстояние от точки касания до центра второй окружности равна утроенному радиусу этой окружности. Во сколько раз длина первой окружности больше длины второй окружности?РешениеПусть О1 и О2 — центры окружностей, А — точка касания (рис. 1). Тогда О1А = R1, О1О2 = R1 + R2, О2А = 3 ∙ R2 (по условию). Требуется найти отношение 
.В прямоугольном треугольнике О1АО2 (
— прямой) имеем 
, или 
. Упростив это равенство, получим 
, откуда 
.Ответ: 
.Пример 2.На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображена фигура (рис. 2
). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах. В ответе запишите 
РешениеПрименим формулу для нахождения площади круга: 
, где π — константа, R — радиус соответствующей окружности. Переходим к анализу иллюстрации. R = 4 см, следовательно 
. Обратим внимание, что по условию задачи требуется найти 
. Далее вычислим 
.Ответ: 8 Видеолекция «Окружность и круг»: 
