Математика: Комбинированные неравенства

Комбинированные неравенства

Для решения рациональных неравенств

применяют так называемый метод интервалов

. Практика вступительных испытаний по математике показывает, что абитуриенты не всегда правильно используют этот метод, понимают его сущность и специфику. В значительной степени это связано с тем, что в учебной литературе встречаются различные подходы к изложению метода интервалов, далеко не всегда удачные. Имеет место путаница с терминами, «странные синтезы» сразу нескольких подходов. Но алгоритм метода интервалов

требует строгости и четкости.Будем понимать метод интервалов как метод, применяемый для решения рациональных неравенств строго определенного вида:

где x₁, x₂, x₃, …, x_n ϵ R;α1, α2, α3,…, αn ϵ N и V — любой из знаков неравенства >, <, ≥, ≤.Если данное неравенства не соответствует указанному виду, то его необходимо привести к этому виду теми или иными равносильными преобразованиями и лишь затем применять метод интервалов. Назовем указанный вид неравенства стандартным для решения методом интервалов.Введем еще два термина. Пусть

— множитель, входящий в неравенство, стандартное для решения методом интервалов. Если показатель степени α_i — нечетное число, то точку х = x_i будем называть простой. Если показатель степени α_i — четное число, то точку х = x_i будем называть двойной.Теперь сформулируем алгоритм метода интервалов.Пусть дано неравенство вида, стандартного для решения методом интервалов. Для его решения:

1) отметим на числовой прямой точки, соответствующие числам x₁, x₂, x₃,…, x_n, разбив тем самым всю числовую прямую на промежутки (интервалы); причем если знак неравенства строгий, то точки отмечаются выколотыми, если знак неравенства нестрогий, то точки отмечаются сплошными;

2) на каждом из полученных промежутков выражение

будет сохранять свой знак постоянным; расставим эти знаки пользуясь правилом чередования знаков:

а) в крайнем правом интервале всегда знак «плюс»;

б) при переходе через простую точку знак меняется на противоположный;

в) при переходе через двойную точку знак сохраняется;

3) после того как знаки всех промежутков определены с полученного рисунка, считывается решение неравенства; ответ записывается в виде объединения промежутков.

Метод интервалов можно применять и для решения дробных рациональных неравенств, если воспользоваться равносильностями:

Подведем итог. Для применения метода интервалов нужно преобразовать неравенство так, чтобы в правой его части стоял 0, а левая была произведением нескольких множителей или дробью, числитель и знаменатель которой разложены на множители. Затем находятся корни каждого множителя (то есть от решения неравенства вы переходите к решению уравнений), и среди них выделяются такие, в которых ни один из имеющихся множителей не меняет знак или меняет знак четное количество множителей. В дальнейшем такие корни, если они найдутся, мы будем называть кратными

(хотя это не совсем точно). Для окончательного решения неравенства остается нанести найденные корни на числовую прямую, найти знак левой части неравенства только на одном интервале, ограниченном полученными точками, и расставить знаки на остальных интервалах, меняя их при переходе через простой корень и не меняя при переходе через кратный.Пример 1.Решим неравенство:

РешениеПриведем данное неравенство к стандартному для решения методом интервалов виду:

Построим разбиение числовой прямой на промежутки:

Заметим, что масштаб в данном случае соблюдать совсем необязательно, но отдельные принципиальные детали, относящиеся к уровню общей графической культуры, соблюдать, конечно, следует. Так, точка -3 должна быть изображена более удаленной от нуля, чем точка

, а расстояние между точками

и -3 должно быть значительно меньше, чем расстояние между точками

и 6 и т.д. Расставим знаки в промежутках, используя правило чередования:

Из рисунка видно решение неравенства:

Ответ:

Пример 2.Решим неравенство:

РешениеДанное неравенство равносильно системе:

Приведем первое неравенство системы к виду, стандартному для решения методом интервалов:

Построим разбиение числовой прямой на промежутки, учитывая второе неравенство системы, то есть, что х ≠ 3, х ≠ 7, х ≠ ± 4, и расставим знаки по правилу чередования:

Решение неравенства:

Ответ:

Решение показательных неравенств

сводится к решению простейших неравенств:

Важно помнить при этом, что при a > 1 можно перейти к неравенству, связывающему показатели степеней, знак которого совпадает со знаком исходного неравенства; при 0 < a < 1 показатели будут связаны неравенством противоположного знака. Т.е. если a > 1, то неравенства

равносильны; если 0 < a < 1, то неравенства

равносильны (это следует из того, что при a > 1 показательная функция возрастает, а при 0 < a < 1 убывает).Составим схемы равносильных преобразований для решения неравенств следующего вида:

Решение: где
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:

Пример 3.Решить неравенство:

РешениеПредставим обе части неравенства как степени с основанием 2:

Ответ:

Пример 4.Решить неравенство:

РешениеПосле замены t = 3^x решим систему неравенств:

Поскольку знаменатель дроби в правой части второго неравенства при t > 0 положителен, можно умножить на него обе части неравенства, превратив его в квадратное:

Сделаем обратную замену:

(левая часть неравенства верна при любом х).Ответ:

Пример 5.Решить неравенство:

РешениеПерейдем к основанию 3:

Ответ:

Пример 6.Решить неравенство:

РешениеПеренесем все слагаемые в левую часть и разложим ее на множители:(16 — 4^x)(5^x — 1) > 0. Найдем корни левой части неравенства:

1 случай. 16 — 4^x = 0, х = 2;

2 случай. 5^x — 1 = 0, х = 0.

Решим неравенство методом интервалов:

Итак, 0 < x < 2.Ответ: (0; 2).Пример 7.Решить неравенство:

РешениеЗапишем неравенство в виде:

и разделим обе его части на 25^x (при делении на положительное число знак неравенства не изменится):

Сделаем обратную замену:

. Поскольку основание степени меньше 1, при переходе к показателям знак неравенства меняется: -1 < x < 0.Ответ: (-1; 0).Простейшее логарифмическое неравенство

сводится к одной из двух систем неравенств:

1 случай.

если a > 1;

2 случай.

если 0 < a < 1.

Пример 8.Решить неравенство:

РешениеИспользуя свойства логарифмов, преобразуем левую часть:

и решим систему неравенств:

Обращаем ваше внимание на то, что положительным должно быть каждое логарифмируемое выражение, а не только их произведение.Ответ: (1; 3).Пример 9.Решить неравенство:

РешениеПоскольку 0 = log₃1, решаем неравенство

Оно равносильно системе:

Заметим, что первое неравенство можно не решать, так как оно заведомо будет верным для всех решений второго неравенства. Тогда

Ответ:

Комментарий. Если основание логарифма переменно и может принимать значения как меньшие, так и большие 1, нужно рассмотреть эти ситуации отдельно, так как в первом случае знак неравенства не меняется при переходе к аргументам, а во втором — меняется на обратный.Пример 10.Решить неравенство:

РешениеЗапишем неравенство в виде:

(учитываем, что x > 0, поэтому

1 случай.

2 случай.

Ответ:

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод возведения в степень

. При этом решение таких неравенств сводится к решению рациональных неравенств или систем рациональных неравенств.Пример 11.Решить неравенство:

Вспомним свойства неравенств:

если обе части неравенства неотрицательны, то при возведении в квадрат знак неравенства не меняется;
если отрицательны, то знак меняется на противоположный;
если же левая и правая части имеют разные знаки, то возведение в квадрат является некорректной операцией.

В данном неравенстве подкоренное выражение, разумеется, должно быть неотрицательным. Кроме того, значения правой части не меньше квадратного корня, то есть для решений неравенства правая часть может быть только неотрицательной. При выполнении этих условий мы имеем право возвести обе части в квадрат с сохранением знака неравенства:

Пересечение решений можно записать в виде: х ≥ 22.Ответ: [22; +∞).Пример 12.Решить неравенство:

РешениеВ этом неравенстве, в отличие от предыдущего, правая часть может принимать значения разных знаков. Рассмотрим эти случаи отдельно.

Случай 1. Если выполнены условия

то неравенство будет верным: действительно, любое неотрицательное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, все решения этой системы войдут в ответ. Решим полученную систему неравенств:

Случай 2. Вторая возможность — выполнение условий:

Ответ:

Пример 13.Решить неравенство:

РешениеПусть

, тогда значения t определяются системой неравенств:

После обратной замены получим:

Поскольку левая и правая части этого двойного неравенства неотрицательны, мы можем возвести все три части в квадрат:

Ответ: (0; 1] U [16; 17).Пример 14.Решить неравенство:

РешениеВо-первых,

Во-вторых,

. Поскольку числитель дроби при всех допустимых значениях х неотрицателен, знаменатель должен принимать отрицательные значения, и неравенство сводится к системе:

Объединяя найденные решения, получим окончательный ответ: 1 ≤ х < 4, x = 8.Еще раз обратите внимание на то, что если бы мы не рассматривали случай равенства отдельно, а решали систему неравенств

то потеряли бы решение х = 8.Ответ: [1; 4), x = 8.Комментарий. Если корень четной степени входит в нестрогое неравенство в качестве множителя, то, чтобы избежать потери решений, лучше рассмотреть отдельно случай равенства и строгого неравенства.Решением тригонометрического неравенства

обычно является набор промежутков, границы которых можно задать общей формулой с использованием целочисленного параметра. Для определения границ очень удобно применять тригонометрическую окружность

.Пример 15.Решить неравенство:

РешениеРешим сначала простейшее тригонометрическое неравенство

где

Прямая

делит тригонометрическую окружность на две дуги. Решениям неравенства соответствуют точки на нижней дуге, ординаты которых не больше

. Поэтому в пределах от

до

решение имеет вид:

Границы следующего промежутка решений можно получить отсюда, изменив каждую границу на 2πn:

Сделав обратную замену, получим двойное неравенство для х:

Ответ:

Пример 16.Решить неравенство: | tg x | ≥ 1.Решение

Наименьший положительный период тангенса равен π, поэтому достаточно найти решение неравенства на интервале

, а затем прибавить к границам πn. Раскрыв модуль, превратим неравенство в совокупность двух неравенств:

Дуги окружности, соответствующие их решениям, имеют вид:

Обращаем внимание на то, что точки

не входят в решение, поскольку при этих значениях аргумента тангенс не существует. Учитывая периодичность, находим окончательное решение:

Ответ:

Комментарий. В более сложных неравенствах для их сведения к простейшим применяются в основном те же приемы, что и при решении уравнений.Пример 17.Решить неравенство: