Логарифмические неравенства
сводится к одной из двух систем неравенств:Пример 1.Решить неравенство: 
, 
Решение.Используя свойства логарифмов, преобразуем левую часть: 
и решим систему неравенств: 
Обращаем ваше внимание на то, что положительным должно быть каждое логарифмируемое выражение, а не только их произведение.Ответ: (1; 3).Пример 2.Решить неравенство: 
Решение.Поскольку 
решаем неравенство 
Оно равносильно системе: 
Заметим, что первое неравенство можно не решать, так как оно заведомо будет верным для всех решений второго неравенства. Тогда 
Ответ: 
Составим схемы равносильных преобразований для решения неравенств следующего вида:Комментарий. Если основание логарифма переменно и может принимать значения как меньшие, так и большие 1, нужно рассмотреть эти ситуации отдельно, так как в первом случае знак неравенства не меняется при переходе к аргументам, а во втором – меняется на обратный.Пример 3.Решить неравенство: 
где 
Решение.Запишем неравенство в виде: 
(учитываем, что x > 0, поэтому 
).Ответ: 
Пример 4.Решить неравенство: 
Решение.Пусть 
тогда 
и для t получаем неравенство: 
Не забудьте, что в дробно-рациональном неравенстве важен знак не только числителя, но и знаменателя дроби, и решать его лучше всего методом интервалов (самая распространенная ошибка на этом этапе решения – «отбрасывание» знаменателя). Корни числителя: 
и 2, корень знаменателя – 0, и знак дроби распределяется на интервалах так:
Следовательно, 
или 
(корень знаменателя, разумеется, в ответ не входит).1 случай. 
2 случай. 
Ответ: 
Пример 5.Решить неравенство: 
Сделаем замену: t = log2 x и решим для t иррациональное неравенство 
:Обратная замена: 
решений нет.
Ответ: 
Пример 6.Решить неравенство: 
Решение.Определим ОДЗ: 
и перейдем в обоих логарифмах к основанию 2: 
Найдем корни числителя и знаменателя:
не входит в ОДЗ.
(само это значение тоже не входит в ОДЗ, но слева и справа от него определены все функции, присутствующие в неравенстве, и один из множителей знаменателя в этой точке меняет знак).Итак, в рамках ОДЗ дробь меняет знак трижды: в точках 
и 
Расставим знаки на интервалах. При 
(точка, расположенная на самом правом интервале) х – 3 = 0,75 < 1, 23 – 6x = 0,5 < 1, - 6x2 + 41x – 69 = 0,375 < 1, поэтому все три логарифма, входящие в последнюю форму неравенства, отрицательны; соответственно, отрицательна и сама дробь.
Ответ: 
Пример 7.Решить неравенство: 
Решение.Превратим простейшее неравенство 
в систему: 
и перейдем к любому постоянному основанию (например, 2): 
Решим второе и третье неравенства методом интервалов.- 1 случай.
Решение второго неравенства: 
2 случай. 
корень знаменателя (х = 0) тот же, что в предыдущем неравенстве.
Решение: 
Ответ: 
Пример 8.Решить неравенство: 
Решение.ОДЗ: 
Преобразуем первый логарифм: 
Тогда 
Решим полученное неравенство методом интервалов:Расставим знаки (при х = 10, то есть на самом правом из полученных промежутков, числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен, то есть вся дробь отрицательна).
не входит в ОДЗ.
точка, лежащая внутри ОДЗ.
Ответ: 
.Пример 9.Решить неравенство: 
Решение.Найдем ОДЗ: 
.Перейдем к основанию 3: 
(учитываем, что | x + 1 |2 = ( x + 1 )2).Применим метод интервалов:Отметим, что из всех изолированных точек, не входящих в ОДЗ, только х = - 1 не является корнем числителя или знаменателя; соответственно в этой точке знак дроби не меняется.Расставим знаки, учитывая, что на самом правом интервале все логарифмы, входящие в левую часть неравенства, положительны:
Ответ: (- 7; - 6)U[ - 3; - 2)U(0; 2].Комментарий. При решении подобных неравенств применяются те же приемы, что и при решении уравнений аналогичного типа (замены, логарифмирование, потенцирование). Как всегда, внимательно следите за ограничениями на ОДЗ.Пример 10.Решить неравенство: log3 (3x – 3) + x < log3 10.Решение.Представим x = log3 3x, сделаем замену t = 3x и решим для t систему неравенств с учетом ОДЗ:
Обратная замена:
Ответ: (1; log3 5).Пример 11.Решим неравенство: 
Решение.
Таким образом, решение исходного неравенства: 
Ответ: Пример 12.Решим неравенство: 
Решение.
Таким образом, решение исходного неравенства: 
Ответ: Пример 13.Решить неравенство: 
Решение.Вновь перед нами в левой части выражение вида 
Наиболее удобный прием для упрощения – логарифмирование. Прологарифмируем обе части по основанию 4 и составим систему неравенств с учетом ОДЗ: 
Решим последнее неравенство методом интервалов.При достаточно больших значениях х аргумент логарифма, стоящего в числителе, меньше 1, то есть числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен. С учетом этого расставим знаки на интервалах:
не входит в ОДЗ.
точка лежит внутри ОДЗ, знак дроби в ней меняется.
Таким образом, 4 < x < 5 или 
.Ответ: 
Пример 14.Решить неравенство: 
Решение.Задаем ОДЗ и логарифмируем обе части по основанию 3: 
Заметим, что х2 – 10х + 25 = (х – 5)2. Тогда 
Последнее неравенство решаем методом интервалов.Расставим знаки на интервалах (при x > 11 левая часть положительна):
сама эта точка в ОДЗ не входит, но знак первого множителя в ней меняется.
Ответ: 
.Пример 15.Решить неравенство: 
Решение.Воспользуемся одним из свойств логарифмов (см. занятие 13): 
Неравенство сразу резко упрощается: 
и, с учетом ОДЗ, 
Ответ: (0; 27].Пример 16.Решить неравенство:Решение.Упростим второй множитель левой части: Этот результат позволяет сделать замену: t = log2 (2x – 3) и решать неравенство: 
или 
Сделаем обратную замену.Ответ: 
Пример 17.Решить неравенство: 
Решение.Замена: 
Решим неравенство для 
или 
Обратная замена:Ответ: 
Пример 18.Решить неравенство: 
Решение.Учтем ОДЗ: 
и прологарифмируем обе части по основанию 2: 
Замена: 
или 
Ответ: 
Пример 19.Решить неравенство: 
Решение.ОДЗ: 
(подмодульное выражение не должно равняться нулю). Прологарифмируем обе части по основанию 2: 
и решим полученное неравенство методом интервалов.Расставим знаки на интервалах, учитывая, что при x > 14 левая часть неравенства положительна, а при х = 6 ни один из множителей не меняет знак:
Ответ: 
Видеолекция «Логарифмические неравенства»: 
