Уравнения, содержащие модуль
В структуру ЕГЭ включены комбинированные задачи с модулем и параметрами. Для решения этих задач необходимо знание понятие «модуль» на повышенном уровне, а также других учебных тем (алгебраические уравнения и неравенства, метод интервалов, графики функций, уравнения и неравенства с параметрами и т.д)Данный раздел содержит задания достаточно высокого уровня сложности, рассмотрение которых не следует рекомендовать абитуриентам, не достаточно подготовленным.Содержание раздела познакомит вас с разнообразными частными приемами и методами решения комбинированных задач, большинство из которых носит исследовательский, поисковый характер, требует высокого уровня математической культуры (именно поэтому все задания снабжены полными решениями и комментариями по использованию соответствующего теоретического материала). При сравнении абитуриентом самостоятельно выполненного решения задачи с решением, приведенном в настоящем разделе, абитуриент познакомится с эталонным оформлением решения комбинированных задач (при проверке ЕГЭ заданий группы С учитывается полнота и оформление решения, которое необходимо представить в обязательном порядке).Модуль. Свойства модуляОпределение. Модуль числа или абсолютная величина числа равна , если больше или равно нулю, и равна , если меньше нуля:Из определения следует, что для любого действительного числа , .Теорема. Абсолютная величина действительного числа равна большему из двух чисел или .
  1. Если число положительно, то отрицательно, т.е. . Отсюда следует, что .В этом случае , т.е. совпадает с большим из двух чисел и .
  2. Если отрицательно, тогда положительно и , т.е. большим числом является . По определению, в этом случае,  — снова, равно большему из двух чисел и .
Следствие. Из теоремы следует, что .В самом деле, как , так и равны большему из чисел и , а значит, равны между собой.Следствие. Для любого действительного числа справедливы неравенства , .Умножая второе равенство на (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: , , справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: .Теорема. Абсолютная величина любого действительного числа равна арифметическому квадратному корню из : .В самом деле, если , то, по определению модуля числа, будем иметь . С другой стороны, при , , значит .Если , тогда и , и в этом случае .Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять на .Геометрически означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число , до начала отсчета.Если , то на координатной прямой существует две точки и , равноудаленные от нуля, модули которых равны.Если , то на координатной прямой изображается точкой 0.Свойства модуля .Из этого свойства следует, что ; .Равносильные переходы между уравнениями с модулямиТема «Абсолютная величина» (или «Модуль числа») является наиболее эксплуатируемой в практике комбинированных задач вступительных экзаменов в форме ЕГЭ. Вероятно, это объясняется ощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством, что, используя модуль, любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения.Посмотрим на примере, как система одного неравенства и совокупность двух неравенств преобразуется к одному равносильному уравнению.В основе указанных преобразований лежат следующие легко доказываемые утверждения:Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа

<

 

 

=

 

 

>

 

Линейные сплайны. Пусть заданы  — точки смены формул. Функция , определенная при всех , называется кусочно-линейной, если она линейная на каждом интервале , , , ..., , т.е. , где обозначено , .Если к тому же выполнены условия согласования , то рассматриваемая кусочно-линейная функция непрерывна. Непрерывная кусочно-линейная функция называется также линейным сплайном.Функцию с рассматриваемом графиком можно задать и одной и тремя формулами:Однако нетрудно заметить, что эту же функцию можно задать и одной формулой, используя модули: . Оказывается, что и любую непрерывную кусочно-линейную функцию вида (1) можно задать некоторой формулой видагде числа , , c, ..., легко найти по графику данной функции.Заметим, что две ломаные с бесконечными крайними звеньями и одинаковыми абсциссами вершин , , ..., совпадают, если у них равны угловые коэффициенты всех «одноименных» звеньев и имеется общая точка. Иными словами, знание угловых коэффициентов всех звеньев и координат одной точки такой ломаной на основе указанной информации, при котором данная точка берется за исходную.Отмеченный факт мы и положим в основу получения формулы для непрерывной кусочно-линейной функции, заданной своим графиком. Напомним, что равняется , если , и , если . Поэтому на каждом из промежутков , , ..., , на которые числовая прямая разбивается точками, функция, определяемая вышеобозначенной формулой, будет линейная (как сумма линейных функций), и для нахождения углового коэффициента соответствующего звена ломанной достаточно найти коэффициент при после раскрытия всех модулей в выражении рассматриваемом на соответствующих этим звеньям промежутках, находим:Вычитая из второго равенства первое, получаем вычитая из третьего второе, получаем и т.д. Мы приходим в итоге к соотношениям:Складывая первое равенство с последним, получаем откуда Итак, если коэффициенты определяются формулой (3), то угловые коэффициенты всех звеньев графика рассматриваемой функции совпадают с соответствующими угловыми коэффициентами заданного графика и, значит, остается обеспечить всего одну общую точку этих ломанных для их совпадения.Рассмотрим примеры решения комбинированных задач, использующих свойства модуля.Пример 1.В некотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Все деревья имеют высоту меньше 100 м. Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200 м.Решение.Пусть деревья высотой растут в точках . Тогда по условию . Следовательно, длина ломаной не превосходит м. Эту ломаную можно огородить забором, длина которого не превосходит 200 м.Пример 2.На отрезке числовой оси расположены четыре точки: , , , . Докажите, что найдётcя точка , принадлежащая , такая, что .Решение. Точки , , , делят отрезок не более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше . Возьмём за центр этого интервала. Расстояние от до концов этого интервала не меньше , а до других точек из числа , , ,  — больше . Поэтому два из чисел , , , не меньше , а остальные два строго больше . Так что все обратные величины не больше 10, а две из них строго меньше 10. Тогда сумма обратных величин меньше 40, что и требуется.Пример 3.Два тела начинают одновременно двигаться равномерно по прямым и , пересекающимися под прямым углом. Первое тело движется со скоростью 3 км/ч по прямой от точки к точке , находящейся на расстоянии 2 км от точки . Второе тело движется со скоростью 4 км/ч по прямой от точки к точке , находящейся на расстоянии 3 км от точки . Найти наименьшее расстояние (в км) между этими телами во время движения.Решение. Через часов первое тело будет находится от точки на расстоянии км, а второе — на расстоянии км. По теореме Пифагора расстояние между телами составит ; км.Ответ: 0,2 км.Пример 4.Пункты и расположены на прямолинейной магистрали в 9 км друг от друга. Из пункта в направлении пункта выходит автомашина, двигающаяся равномерно со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта в том же направлении с постоянным ускорением 32 км/ч2 выходит мотоцикл. Найти наибольшее расстояние между машиной и мотоциклом в течении первых двух часов движения.Решение.Расстояние между автомобилем и мотоциклом через часов составит ; .Ответ: 16 км.Пример 5.Из пункта в пункт вышел пешеход. Не позже чем через 40 мин вслед за ним вышел второй. Известно, что в пункт один из них пришел раньше другого не менее, чем на 1 час. Если бы пешеходы вышли одновременно, то они бы пришли в пункт с интервалом не более чем в 20 мин. Определить, сколько времени требуется каждому пешеходу на путь от до , если скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.Решение.Пусть и (мин) - время, затраченное соответственно первым и вторым пешеходом на путь из в , и пусть второй пешеход вышел позже первого на минут. Рассмотрим 2 возможности: 1) и 2) . В случае имеем равенство и систему:Из первого и третьего неравенства получим , учитывая второе условие получим, что , и это в свою очередь дает равенства и . Т.о. , , .В случае имеем и сиcтему:Но так как , то система не совместна, и, следовательно, случай 2 не может иметь места.Ответ: , , .Пример 6.По расписанию автобус должен проходить путь AD, состоящий из отрезков AB, BC, длиной 5, 1, 4 км соответственно, за 1 час. При этом выезжая из пункта A в 10 ч, он проходит пункт B в 10 ч 10 мин, пункт C в 10ч 34 мин. С какой скоростью должен ехать автобус, чтобы время, за которое автобус проходит половину пути от A до D (со скоростью ), сложенное с суммой абсолютных величин отклонения от расписания при прохождении пунктов B и D, превышало абсолютную величину отклонения от расписания при прохождении пункта C не более, чем на 28 мин.Решение.Условие задачи приводит к системе:,которая имеет единственное решение .Ответ: 30 км/ч.Пример 7.Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из A в D длиной 15 км за 1 час. При этом выходя из пункта A в 12 ч, он прибывает в пункты B и C, отстоящие от A на растояние 11 км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и в 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался из A в D без остановок с постоянной скоростью (относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты B, C, D не превышало бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью в стоячей воде. Какой из пунктов находится выше по течению: A или D?Решение.Рассмотрим 2 случая: 1) пункт D находится выше по течению, 2) пункт D находится ниже по течению.В первом случае получаем систему:которая не имеет решения. Тогда выполняется второй случай.Ответ: D.Пример 8.Даны три квадратных трехчлена: , и . Докажите, что уравнение имеет не более восьми корней.Решение.Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трехчленов , , с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трехчлены, так как коэффициент при имеет вид , т.е. отличен от нуля. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения содержатся среди корней четырех квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.Пример 9.Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: , причем . Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том случае, если x1 рационально.Решение.Если , то . Действительно, . Если xn рациональное, то рациональное, причем со знаменателем не большим чем у xn. Действительно, пусть - несократимая дробь. ТогдаЕсли эта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у xn, если она сократима, то после сокращения знаменатель уменьшится.Итак, все члены последовательности - рациональные числа, заключенные между 0 и 1, т.е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины , - конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.Простейшие комбинированные уравнения с модулемК «простейшим» комбинированным (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:Рассмотрим далее примеры решения «простейших» комбинированных уравнений.Пример 10.Решим уравнение .Решение.Ответ: .Пример 11.Решить уравнение .Решение.Ответ: .Пример 12.Решить уравнение .Решение.Ответ: .Рациональные уравнения с модулямиРациональные уравнения в работах ЕГЭ часто «усложнены модулями». Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля, не входят явно в школьную программу по математике, часто предлагаются школьными учителями как задания повышенной сложности. В итоге, вызывая у абитуриентов страх и трепет, такие задания многими абитуриентами просто пропускаются, хотя вполне могли быть выполнены. Для этого необходимо не так много:Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, основано на определении модуля.Модули, входящие в уравнение, раскрываются по определению и в дальнейшем уже решаются уравнения и неравенства, не содержащие модуля. Заметим, что абитуриенты часто вместо равенства, указанного в начале раздела, применяют равенство:Понятно, что оно справедливо лишь в случае f(x) = x. В общем случае это равенство неверно. Следует помнить об этом и не допускать этой распространенной среди абитуриентов ошибки.Решение дробно-рациональных уравнений нередко сводится к решению обычных квадратных уравнений, но с учетом ограничений на допустимые значения неизвестного. В частности, из ОДЗ исключаются те значения х, при которых хотя бы один из знаменателей дробей, входящих в уравнение, обращается в 0.Основной прием решения модульных уравнений и неравенств — раскрытие модуля с использованием его определения (|a| = a при a 0 и |a| = -a при a < 0). Для этого обычно рассматривают отдельно два случая: случай, когда подмодульное выражение неотрицательно и когда оно отрицательно.Решим уравнение: .Решение.Раскроем все входящие в уравнение модули. Для этого на числовой прямой отметим сплошными точками корни всех подмодульных выражений. Числовая прямая тем самым будет разбита на несколько промежутков. На каждом из промежутков укажем знак каждого из подмодульных выражений.Таким образом, надо рассмотреть четыре различных случая:1) 2) 3) 4) Решение второй и четвертой систем пустое множество. Таким образом, корни данного уравнения: Ответ: Комментарий. Прием решения модульных уравнений и неравенств — раскрытие модуля с использованием его определения называется методом интервалов. Применение метода интервалов основано на следующейТеорема. Функция, непрерывная на промежутке и не обращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак.Суть метода состоит в следующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).Пример 13.Решим уравнение: Решение.Раскроем модули.Рассмотрим четыре случая:1) 2) 3) 4) Решение уравнения свелось к решению совокупности четырех смешанных систем. В итоге получаем:Первая и четвертая системы несовместны, решение второй системы также пустое множество.Решение третьей системы: Это и есть единственный корень данного уравнения.Ответ: Пример 14.Решим уравнение: .Решение.Запишем уравнение несколько иначе: Поскольку , то имеем уравнение Положим , тогда t2 - 3t + 2 = 0. Так как t1 = 1 и t2 = 2, то имеем совокупность уравнений:Очевидно, что х = 0 и х = -2 (это корни первого уравнения совокупности); х = 1 и х = -3 (это корни второго уравнения совокупности). Таким образом, корни данного уравнения: x1 = -3, x2 = -2, x3 = 0 и x4 = 1.Ответ: x1 = -3, x2 = -2, x3 = 0 и x4 = 1.Пример 15.Решить уравнение: | x2 - 3x + 3 | = | 2x - 3 |.РешениеРавенство |a| = |b| верно в двух случаях: a = b или a = -b. Применим это утверждение к решению уравнения:x2 - 3x + 3 = 2x - 3, x2 - 5х + 6 = 0, x1 = 2, x2 = 3.x2 - 3x + 3 = -2x + 3, x2 - х = 0, x3 = 0, x4 = 1.Выбранный способ решения не приводит к появлению посторонних корней.Ответ: х = 0, х = 1, х = 2, х = 3.Комментарий. В уравнениях, в которые входит алгебраическая сумма нескольких модулей, можно «убрать» их все одновременно. Для этого достаточно найти корни каждого подмодульного выражения, отметить соответствующие точки на числовой прямой и получить интервалы, на каждом из которых все подмодульные выражения сохраняют постоянный знак. Определив эти знаки, мы можем заменить каждый модуль либо подмодульным выражением, либо выражением, противоположным ему.Пример 16.Решить уравнение |2x + 2| - |x| = x + 2.РешениеНайдем корни подмодульных выражений: х = -1 и х = 0 и определим знаки этих выражений на интервалах (- ∞; - 1), (- 1; 0) и (0; + ∞) (для этого достаточно подставить в каждое подмодульное выражение вместо х какое-нибудь число из выбранного интервала):На первом месте стоит знак первого подмодульного выражения, на втором — второго.Теперь раскроем на каждом интервале оба модуля с учетом знака подмодульных выражений:Найденный корень располагается на заданном интервале, следовательно, входит в ответ.Точка 0 не включена в интервал, поэтому корень оказался посторонним.Видим, что на этом промежутке уравнение превратилось в тождество, то есть его решением является любое значение х из рассматриваемого промежутка.Ответ: х = -2, х  0.Комментарий. Отметим две особенности уравнений такого типа, иллюстрацией которых может служить предыдущий пример: во-первых, решением такого уравнения может оказаться не конечный набор чисел, а непрерывный промежуток, и, во-вторых, вы можете включать точку, разделяющую интервалы, в любой из соседних промежутков. Если она не является решением уравнения, то ее включение в выбранный интервал не изменит набора корней, а если является, то этот корень обязательно получится в каждом из уравнений, к которым сводится исходное уравнение на соседних интервалах, и, соответственно, войдет в Ответ:Пример 17.Решить уравнение: x2 - 6x + |x - 3| - 3 = 0.Решение.Заметим, что . Введем новое неизвестное t = |x - 3| (t  0), тогда для t требуется решить уравнение t2 - 9 + t - 3 = 0, t2 + t - 12 = 0, t1 = 3, t2 = -4 < 0 — посторонний корень.Следовательно: |x - 3| = 3, x - 3 = ± 3, x1 = 0, x2 = 6.Ответ: 0; 6.Комментарий. Замена переменной применяется в модульных уравнениях и неравенствах заметно реже, чем в задачах других типов. Тем не менее, встречаются задания, в которых удобно сделать замену.Как видим, такой способ решения намного короче и удобнее традиционного.Пример 18.Решить систему уравнений, содержащую модуль .РешениеСлучай 1. Пусть х 1, тогда система примет вид: .Сделаем подстановку из второго уравнения: и упростим полученное уравнение для х:9x2 - 9x2 - 6х - 1 - 24х + 18х + 6 + 7 = 0,12 - 12х = 0, х = 1, y = 2.Случай 2. Если x < 1, то система выглядит так:.Тогда:0 = 0 — тождество, то есть второе уравнение является верным равенством при любом x < 1, если у при этом связан с х соотношением . Учитывая результат, полученный в пункте А, запишем окончательный ответ.Ответ: .Пример 19.Решить уравнение: Решение.Внесем множитель два в левой части уравнения под логарифм в качестве показателя степени: и перейдем к основанию логарифма пять в левой части уравнения:«Отбрасывая» логарифмы, получаем: и далее, учитывая, что и переходя к разности дробей в левой части уравнения: Это квадратное уравнение относительно ctgx, корни которого 1 и -5. Т.е. имеем совокупность: Решением первого уравнения совокупности является семейство: решением второго: Здесь применено тождество: Далее необходимо провести проверку корней. В качестве способа проверки в данном случае, изберем непосредственную подстановку в исходное уравнение. При этом ясно, что речь идет о подстановке в исходное уравнение лишь одного значения принадлежащего данному семейству. Этого достаточно. Удобнее всего, взять значения n = 0 и х = -1. Но можно поступить еще проще: в равносильности совокупностей,мы не сомневаемся, а поэтому в исходное уравнение можно подставлять непосредственно каждое из получившихся значений ctg x.В каждом случае изберем более удобный из описанных подходов.Пусть и n = 0, т.е. Тогда имеем:Таким образом, семейство: входит во множество корней исходного уравнения.Пусть теперь ctg x = -5 (здесь реализуем второй подход, ибо осуществлять непосредственную подстановку x = -arcctg 5 неудобно). Тогда, поскольку и . Далее, т.к. ctg x < 0, то sin x и cos x должны быть разных знаков; имеем: и или и . В первом случае во втором случае После подстановки в исходное уравнение имеем:Таким образом, семейство также входит во множество корней исходного уравнения.Ответ: .Пример 20.Решить уравнение Решение.Рассмотрим два случая, определяемых знаком подмодульного выражения:Объединяя полученные решения, получаем ответ 1.Ответ: 1.Пример 21.Решить уравнение |x – 1| + |x – 3| = 2 |x – 2|.Решение.Знаки подмодульных выражений на интервалах числовой прямой распределяются так:Решим уравнение на каждом промежутке:Ответ: х 1, х 3.Пример 22.Решить уравнение 2|x + 2| + |x – 3| = 7 – 2x.Решение.Найдем корни подмодульных выражений: х + 2 = 0, х = -2; х – 3 = 0, х = 3. Полученные числа разбивают числовую прямую на 3 промежутка: (-∞; -2), [-2; 3), [3; +∞), на каждом из которых оба подмодульных выражения не обращаются в 0 и, соответственно, сохраняют постоянный знак. Следовательно, на каждом из найденных промежутков можно заменить модули либо подмодульными выражениями, либо выражениями, противоположными им, и свести задачу к решению обычных линейных уравнений, равносильных исходному уравнению на каждом из рассматриваемых интервалов:Ответ: х = -8, х = 0.Пример 23.Решить уравнение: Решение.Заметим, что первое подмодульное выражение положительно при любом х, то есть его модуль равен подмодульному выражению. Рассмотрим две возможности для знака второго подмодульного выражения:Ответ: Пример 24.Решить уравнение: Решение.При решении этого уравнения важно не забыть, что равенство будет верным не только в случае, когда показатель степени равен 0, но и тогда, когда основание степени в левой части равно 1, так как при возведении 1 в любую степень мы получим 1. Кроме того, ОДЗ определяется условием: х – 5 0, то есть х 5.Ответ: 4; 6; Комментарий. Остановимся подробнее на уравнениях, в которых встречается сумма модулей. Теорема. Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульнх величин тогда и только тогда, когда каждая величина имеет тот знак, с которым она входит в алгебраическую сумму.Пример 25.Решить уравнение Решение. Так как , то мы имеем равенство вида , где , . Поэтому исходное уравнение равносильно системе:Ответ: .Теорема. Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных величин тогда и только тогда, когда все величины имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо все величины имеют противоположный знак одновременно.Пример 26.Решить уравнение Решение. «Загоняем» коэффициенты 2 и 5 под знак модуля и «изолируем» сумму модулей:По константам получаем . Действительно, , то есть уравнение имеет вид . Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух систем:то есть .Ответ: .Графическое решение комбинированных уравненийРешение комбинированных уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).Построение графиков вида , и Отметим правило построения графика функции .Для примера, на рисунке изображен график функции .Для построения графика функции cтроим график функции для и отображаем симметрично относительно оси Oy.Для примера, на рисунке изображен график функции .Для построения графика функции строим график функции для и симметрично отображаем относительно оси Ox.Для примера, на рисунке изображен график функции .Пример 26.Построить график функции .Решение.Воспользуемся правилами преобразования графиков.
  1. График функции - биссектриса первого и третьего координатных углов.
  2. График функции получается из графика функции отображением его части, расположенной ниже оси абсцисс (при ) симметрично относительно оси абсцисс.
  3. График функции получается из предыдущего сдвигом влево по оси абсцисс на две единицы.
  4. Полученный график сдвигаем по оси ординат на 3 единицы вниз. Получаем график функции .
  5. Часть его, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси. Итак, получаем график данной функции.
Исследуемая функция допускает другую форму записи:Пример 27.В зависимости от параметра , найти количество решений уравнения Решение.Построим график функции .В зависимости от положения прямой , получаем следующее: при a < 0 нет корней, при a = 0 - бесконечно много корней, при - четыре корня, при - три корня, при - два корня.Пример 28.Докажите, что на графике функции можно отметить такую точку A, а на графике функции - такую точку B, что расстояние AB не превышает .Решение. Положим . Точка B с координатами , где , очевидно, лежит на графике функции .Рассмотрим положительное число . Тогда , следовательно, точка A с координатами лежит на графике функции .Расстояние между точками A и B равно . Но из равенства следует, что , .Простейшие комбинированные уравнения с модулемК «простейшим» комбинированным (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:Пример 29.На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: .Решение.или .Ответ: см. рисунок:Пример 30.Дана функция . Сколько решений имеет уравнение ?Решение. Пусть  - решение уравнения , а . Тогда и , а потому точка с координатами лежит на каждом из графиков и . Наоборот, если точка лежит на пересечении этих графиков, то и , откуда . Тем самым показано, что число решений уравнения совпадает с числом точек пересечения графиков и , а их 16 (см. рисунок).Ответ: 16.Графики комбинированных функций, содержащих линейные выражения под знаком абсолютной величины.Комментарий. Сформулируем утверждение, позволяющее строить график алгебраической суммы модулей, не раскрывая модули (это особенно удобно, когда модулей много).Теорема. Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную, график которой состоит из n + 1 прямолинейного участка. Поэтому график может быть построен по n + 2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна - произвольная точка, с абсциссой меньше наименьшего из этих корней, и последняя - с абсциссой, большей наибольшего из этих корней.Комментарий. Аналогично можно строить графики вида .Примеры построения комбинированных графиков.
  1. . Вычисляем значения функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух лучей (см. рис.)
  2. . Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из отрезка и двух лучей (см. рис.).
  3. . Для построения графика «по отрезкам» вычислим значение функции в точках 1, 2, 3, 0, 4 (см. рис.).
  4. . График разности модулей строиться аналогично (см. рис.).
Комментарий. Анализируя вид графиков 1, 2 и 3, можно предположить, а затем и доказать, что сумма модулей линейных выражений вида достигает своего наименьшего значения либо в единственной точке, если число модулей нечетно, либо во всех точках некоторого отрезка, если число модулей чётно. График суммы нечетного числа модулей линейных выражений имеет форму клина, а график суммы чётного числа модулей имеет участок параллельный оси абсцисс. Более точно.Теорема. Пусть корни подмодульных выражений упорядочены по возрастанию . Тогда если число слагаемых n нечётно и , то наименьшее значение функции достигается в точке , а если число слагаемых n чётно и , то наименьшее значение функции достигается во всех точках отрезка .Пример 30.В зависимости от значения параметра a, найти количество корней уравнения Решение. Решим задачу графически. Пусть , определим количество точек пересечения графика функции и прямой y = a в зависимости от a. Исходя из сформулированного выше утверждения, график функции будет иметь участок, параллельный оси абсцисс. Заметим, что абсциссы точек этого участка составляют отрезок , и во всех его точках функция достигает наименьшего значения, равного, например, , причем Поскольку указанная сумма представляет собой удвоенную арифметическую прогрессию с первым членом 1, последним членом 999, сложенную с числом 1000, то она равнаТогда при уравнение не будет иметь решений, при их будет бесконечно много, а при уравнение будет иметь два решения.Специальные способы решения комбинированных уравнений с модулем. Метод раскрытия модулейПример 31.Решить уравнение Решение. Это уравнение содержит более одного модуля.Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.
  1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: , ; , ; , .
  2. Отметить эти точки на числовой прямой.
  3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.
      1) При или . Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение x из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех x из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях x из этого промежутка выражение будет положительным.Возьмем значение из промежутка и подставим его значение в выражение , получаем , значит на этом промежутке отрицательно, а следовательно «выйдет» из-под модуля со знаком «минус», получим: .При этом значении x, выражение получит значение , значит, оно на промежутке также принимает отрицательные значения и «выйдет» из модуля со знаком «минус», получим: .Выражение получит значение и «выйдет» из-под модуля со знаком «минус»: .Уравнение на этом промежутке получится таким: , решая его, находим: .Выясняем, входит ли это значение в промежуток . Оказывается входит, значит является корнем уравнения.2) При . Выбираем любое значение x из этого промежутка. Пусть . Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении x. Оказывается, что выражение положительно, а два других отрицательны.Уравнение на этом промежутке примет вид: . Решая его, находим x = 0. Это значение не входит в промежуток , а значит, не является корнем уравнения.3) При . Выбираем произвольное значение x из этого промежутка, скажем, и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения и положительны, а  - отрицательно. Получим следующее уравнение: .После преобразования, получим: , а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.4) При . Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: , , которое входит в промежуток и является корнем уравнения.
Ответ: x = 1, .Пример 32.Решить уравнение Решение.Ответ: x = 0, .Использование тождества при решении комбинированных уравнений.Комментарий. Из сформулированного свойства модуля можно вывести два полезных следствия:Пример 33.Изобразить график функции Решение. Перепишем задающую функцию выражение, используя первое следствие:.Осталось только построить графики функций , в одной системе координат и определить участки, на которых один из них выше другого (см. рис.).Пример 34.Построить график функции .Решение. В силу второго тождества, выражение, задающее функцию, записывается в виде: .Искомый график изображен на рисунке (см. рис.).Пример 35.Найдите максимальное значение выражения где x1, x2, ..., - различные натуральные числа от 1 до 1990.Решение.Заметим, что модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума. Поэтому не больше, чем , не больше, чем , не больше, чем . Далее, данное выражение не может равняться 1990, поскольку четность этого выражения совпадает с четностью суммы . Наконец приведем пример, показывающий, что значение выражения может равняться 1989:Ответ: 1989.Решение комбинированных уравнений, содержащих модули неотрицательных выражений.Пример 36.Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения Решение. Рассмотрим выражение и преобразуем его к виду Очевидно, что числитель дроби при любых значениях переменной является положительным числом. Значит дробное выражение положительно, если (т.к. ). Преобразуем полученное выражение, при условии . Получим уравнение, равносильное исходному:Ответ: .Пример 37.Решить уравнение Решение. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, при всех допустимых значениях переменной, на множестве корней уравнения правая его часть тоже должна быть неотрицательной, отсюда условие , на этом промежутке знаменатели обеих дробей равны, и остается решить уравнение . Решая его и учитывая ограничение , получаем ответ.Ответ: x = 1.Пример 38.Решить уравнение Решение. Нетрудно догадаться, что все выражения, стоящие под знаками второго, третьего и т.д. модулей, положительны. И поскольку модуль положительного выражения равен самому этому выражению, получим:Ответ: x = 0.Решение комбинированных уравнений с использованием геометрической интерпретацииКомментарий. Геометрический смысл выражения - длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.Пример 39. Решить уравнение .Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка, — нет.Ответ: .Пример 40.Решить уравнение .Решение. Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.Ответ: .Пример 41.Решить уравнение .Решение. Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой . Сумма равна сумме расстояний от точки до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек A и B не меньше длины отрезка AB (и равенство достигается тогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке AB). Отсюда получаем, что не меньше 4, а не меньше 2 при любом . Поэтому для того, чтобы сумма была равна , необходимо, чтобы . Итак, необходимо равен 0. Легко проверить, что значение x = 0 действительно является решением данного уравнения.Ответ: x = 0.Комментарий. Перевод комбинированной алгебраической задачи на геометрический язык — удобный и мощный метод решения задач.Пример 42.Дана функция: .а) Решите уравнение ;б) Решите неравенство ;в) Найдите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра a.Решение. Построим график функции . Для этого заметим, что , а тогда мы можем сначала построить график функции , и затем отразить его относительно оси ординат. Преобразуем выражение, задающее функцию :Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке (2; 0), график исходной функции представляет собой объединение двух полуокружностей (см. рис.).Теперь решение задач не представляет труда.Решение комбинированных уравнений с использованием тождества Пример 43.Решить уравнение Решение. Дважды применяя тождество , получим уравнение решением которого является интервал .Ответ: .Пример 44.Решить уравнение Решение.Ответ: .Решение комбинированных уравнений переходом к следствию.Комментарий. Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.Пример 45.Решить уравнение Решение. Последовательно переходя к следствиям, получаем:.Нетрудно убедиться, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.Ответ: нет решения.Комментарий. В случае вложенных знаков модуля тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.Пример 46.Решить уравнение Решение. Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений:которые можно переписать в виде:Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два:что приводит к четырём уравнениям:Отсюда получаем 4 решения: , , , , среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не подходят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть отрицательна.Ответ: 3.Комбинированные тестовые задачи, содержащие переменную под знаком модуляПример 47.Найти корни уравнения .Решение. Так как , то из уравнения следует, что , . Тогда исходное уравнение примет вид: , . Корни этого уравнения , . Корень , поэтому он не является решением, а .Ответ: .Пример 48.Найти произведение корней уравнения .Решение. Обозначим , . Тогда исходное уравнение примет вид: . Корни этого уравнения , . Так как , то . Отсюда , . Произведение корней равно .Ответ: .Пример 49.Найти разность между наибольшими и наименьшим корнями уравнения .Решение. Обозначим , . Тогда исходное уравнение примет вид: . Решим его. Корни этого уравнения , . Так как , то значение t2 не подходит. Поэтому . Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна .Ответ: .Пример 50.Найти сумму корней уравнения .Решение. Используем правило:.Исходное уравнение запишем в виде совокупности уравнений: .Таким образом сумма корней исходного уравнения равна .Другой путь. Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведем уравнение в квадрат. Получим: , . Так как дискриминант уравнения положительный, то по теореме Виета сумма корней равна .Ответ: .Пример 51.Сколько целых корней на отрезке имеет уравнение Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен . Так как , то , поэтому исходное уравнение запишется как Последнее уравнение эквивалентно неравенству , решение которого . Таким образом, уравнение имеет 6 корней на отрезке : -5, -4, -3, -2, -1, 0.Ответ: 6.Пример 52.Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение где , ,..., , , , ...,  — различные числа?Решение. Положим и перепишем исходное уравнение в виде .Пусть  — все числа из множества , упорядоченные по возрастанию. На каждом из 101 промежутка , ,..., , , функция линейна. Заметим, что на первом и последнем из этих промежутков и соответственно, при этом , так как количество корней конечно.Пойдем по числовой оси слева направо.Вначале угловой коэффициент функции равен 0. Всякий раз, когда мы проходим одну из точек , он за счет смены знака при раскрытии соответствующего модуля изменяется на .Таким образом, он всегда равен четному целому числу и не может поменять знак, не обратившись перед этим в 0.Значит, угловые коэффициенты на любых двух соседних промежутках либо оба неотрицательны, либо оба неположительны, т.е. функция на объединении этих промежутков либо неубывающая, либо невозрастающая.Стало быть, если число ее корней конечно, то на каждом из 50 промежутков ,..., , она имеет не более одного корня. Кроме того, на крайних интервалах значения имеют разные знаки, и в каждом корне знак функции меняется. Следовательно, количество корней нечетно и не превышает 49.Нетрудно проверить, что если роль будут играть числа 1, 4, 5, 8, 97, 100, а роль - числа 2, 3, 6, 7, 94, 95, 98, , то уравнение будет иметь ровно 49 корней.Ответ: 49.Далее расмотрим примеры, в которых помимо модуля участвует и параметр.Пример 53.Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет три различных корня; найдите эти корни: .Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:Если x < 0, тогда получим уравнение:Дискриминант этого уравнения равен:Уравнение (1) будет иметь один корень, при a = 0 и . Два корня, при a 0 и .Если , тогда получим уравнение:Дискриминант этого уравнения равен:Уравнение (2) будет иметь один корень при a = 0 и a = 2. Два корня - при a 0 и .Делаем вывод, что при уравнение (1) имеет один корень, а уравнение (2) - два корня. При a = 2 уравнение (1) имеет два корня, а уравнение (2) - один.Таким образом, при и a = 2 данное уравнение имеет три корня.Найдем эти корни. При , первое уравнение примет вид: . Оно имеет один корень: Уравнение (2) примет вид: которое имеет два корня: , .При a = 2, уравнение (2) примет вид: . Оно имеет один корень: x1 = 2.Уравнение (1) при этом станет: , которое будет иметь корни: , .Ответ: При a = -2, , , .При a = 2, x1 = 2, , .Пример 54.Для каждого значения параметра a определите число решений уравнения .Решение.
  1. Если a < 0, тогда уравнение не имеет решений, модуль любого вещественного числа неотрицателен.
  2. Если a = 0, тогда получим уравнение . Это уравнение имеет два корня, так как .
  3. Если , тогда получаем совокупность двух уравнений:Первое уравнение имеет дискриминант:.Оно не будет иметь корней при , , но это невозможно, так как . Также оно не может иметь один корень (тогда , что также невозможно). Таким образом, при уравнение (1) имеет два корня.Второе уравнение имеет дискриминант:.Оно не будет иметь корней, если , , . Будет иметь один корень, если . Будет иметь два корня, если .
Окончательно получаем.Ответ. Если a < 0, тогда уравнение не имеет корней.Если a = 0 и , тогда уравнение имеет два корня.Если , тогда уравнение имеет три корня.Если , тогда уравнение имеет четыре корня.Пример 55.Найдите все значения параметра a из промежутка , при каждом из которых больший из корней уравнения принимает наибольшее значение.Решение.Преобразуем уравнение к виду .Значит, если , , тогда . Найдем наибольшее значение , при котором , т.е. наибольшее решение неравенства .Преобразуем это неравенство: , , , , .Последнее неравенство решим методом интервалов, помня, что .Решение неравенства будет множество: .Ясно, что дробь принимает наибольшее значение при , тогда значение a будет равно: .Ответ: при .Пример 56.Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение.Решение.Найдем решения для каждого значения a, а затем отберем те, которые удовлетворяют условию задачи, т.е. при которых уравнение имеет единственное решение.Для каждого фиксированного a будем искать решения данного уравнения сначала на промежутке , а потом на промежутке , поскольку модуль обращается в нуль при :Таким образом, искомые значения a образуют два промежутка: и .Ответ: , .Пример 57.Найти все корни уравнения , удовлетворяющее неравенству .Решение. Построим графики функций и (предлагаем абитуриенту сделать это самостоятельно). Получим две точки пересечения, абсцисса только одной из них меньше , т.е. удовлетворяет условию задачи.Абсциссу точки можно получить решив уравнение .Ответ: .Пример 58.Решить аналитически и графически уравнениеРешение.Аналитическое решение.Преобразуем уравнение, умножив обе его части на 2, поскольку оно является положительным числом, его можно вносить под знак модуля, поэтому получим:У каждого из трехчленов положительные дискриминанты. Это дает возможность разложить каждый из них на линейные множители.Уравнение примет вид: .На числовой прямой отложим точки, в которых каждый из множителей обращается в нуль. В результате получим пять промежутков, на каждом из которых определим знаки трехчленов под модулем и решим полученные уравнения.Однако такой способ не будет рациональным. Целесообразнее изобразить промежутки знакопостоянства каждого из трехчленов на числовых осях. Тогда определение их знаков будет упрощено и сделается более наглядным.При таком схематическом изображении понятно, что:Ответ: , , .Графическое решение.Для графического решения преобразуем уравнение:Построим графики функций и График функции будем строить в несколько этапов:В результате получим график функции .График функции построим уже известным способом: строим параболу и зеркально отражаем в оси Ox только часть параболы, находящуюся ниже оси Ox.Находим абсциссы точек пересечения графиков, которые и будут являться решениями уравнения.Абсциссы точек пересечения следующие: 1,75; 2,5 и 3,25. Они и будут решениями уравнения.Ответ: , , .Пример 59.Решите уравнение .Решение. Решать будем это уравнение, последовательно «раскрывая» модули, начиная с «внешнего» и «приближаясь» к переменной .После раскрытия первого модуля, получим совокупность двух уравнений:(1) или (2) .Решая уравнение (1), в свою очередь, получаем два уравнения:,(3) или (4) .Из уравнения (3) находим: |x| = 0, из уравнения (4) находим: , Решая уравнение (2), также получим: , которое распадается два уравнения:() или () .Из () получаем: |x| = 4, , Из () , которое не имеет решений.Ответ: Пример 60.Решить уравнение Решение. ОДЗ данного уравнения:Простой проверкой нетрудно убедиться, что x = 1 и - решения данного уравнения.Ответ: .Комментарий. Если решать уравнение путем возведения в квадраты обеих его частей, то получится уравнение У этого уравнения добавится «лишний» корень , не принадлежащий ОДЗ.Преобразование , не равносильное, т.к. x = 1 входит в ОДЗ исходного выражения, но не входит в ОДЗ преобразованного.Нюанс состоит в том, что при x = 1 функция существует и при , т.к. на что ноль ни умножай  — будет ноль.Пример 61.Решить уравнение .Решение. Начнем раскрывать внутренний модуль (раскрытие внешнего модуля займет гораздо больше времени):При x 0 имеем .Теперь рассмотрим два случая:Т.к. функция, стоящая в первой части исходного уравнения, — четная, то решением так же будет и .Ответ: .Пример 62.Все значения квадратного трёхчлена на отрезке [0,1] по модулю не превосходят 1. Какое наибольшее значение при этом может иметь величина ?Решение. Докажем, что максимальное значение величины равно 17. Сначала докажем, что эта величина не может быть больше 17. Так как значения трёхчлена на отрезке [0,1] по модулю не превосходят единицы, то , , , то есть , , . Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, тоСледовательно, . Осталось заметить, что квадратный трёхчлен удовлетворяет условию задачи и для него величина равна 17.Ответ: Максимальное значение величины равно 17.Пример 64.Найдите наибольшее целое значение параметра a, при котором уравнение не имеет решений.Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению:Вторая система имеет решение только при (при этом ее решениями будут все ). Первая система не имеет решений, если При этом наибольшее целое a, очевидно, равно -4.Ответ: a = -4. Видеолекция «Уравнения, содержащие модуль»: