Математика: Системы уравнений

Системы уравнений

Из школьного курса известно, что два или более уравнений образуют систему

, если они имеют общее решение. Решением системы двух уравнений

называется пара чисел (x₀; y₀), которая каждое уравнение системы обращает в тождество

. Решить систему – значит найти все ее решения.Далее рассмотрим на примерах несколько способов решения систем.

Способ подстановки.Решим систему уравнений:Способ подстановки заключается в следующем:
Получили линейное уравнение относительно переменной y. Решим это уравнение, помножим это равенство на 2, чтобы избавиться от дроби в левой части равенства:Подставим найденное значение в равенство, выражающее x, получим: .Таким образом, нами найдена пара значений , которая является решением заданной системы. Осталось сделать проверку.Проверка:
Способ уравнивания коэффициентов при неизвестных состоит в том, что исходную систему приводят к такой эквивалентной системе, где коэффициенты при x или y были одинаковы. Покажем, как это делается, на данном примере.Решим систему:
Таким образом, найдена пара значений которая является решением заданной системы.

Иногда задаются системы уравнений, где нет необходимости в уравнивании коэффициентов при неизвестных. Почленное сложение или вычитание уравнений системы приводит к простейшему решению.Например, решить систему уравнений:

Складывая почленно уравнения заданной системы, получим:

.Подставив вместо x значение 5 во второе уравнение исходной системы, находим соответствующее значение y:

Таким образом, решением системы является

Пример 1.Решим систему уравнений:

Решение.Положим

. Тогда придем к системе уравнений:

Эту систему решим методом уравнивания коэффициентов. Для этого умножим второе уравнение системы на -2 и сложим с первым уравнением:

Отсюда получаем, что

, тогда

Следовательно, имеем систему уравнений:

т.е.

Полученную систему будем решать способом уравнивания коэффициентов. Здесь умножим второе уравнение системы на 3 и сложим с первым уравнением, получим:

Получаем, что

. Подставим найденное значение переменной x в одно из уравнений системы, найдем значение y. Получим ответ:

При решении систем тригонометрических уравнений

последние сводят либо к одному уравнению с одним неизвестным, либо к системе уравнений относительно аргументов или функций этих аргументов.Рассмотрим лишь некоторые типы тригонометрических уравнений и наиболее употребительные методы их решения.Решим систему:

Складывая и вычитая уравнения системы согласно формулам преобразования произведения в сумму функции sin ?, получаем равносильную систему:

Полученная система имеет решение в том случае, когда выполняются условия

. А поскольку обе системы равносильны, то и исходная система имеет решения только при указанных условиях. Если эти условия выполнены, то

(*), где k и n – любые целые числа, а знаки выбираются произвольно.Пусть

.Таким образом, формулы (*) определяют четыре серии решений:

Решая эти системы, находим:

Аналогично решается система:

Пример 2.Решить систему:

Решение.Сначала в первом уравнении системы перейдем от градусной меры к радианной:

. Далее из первого уравнения системы выражаем y:

. Тогда второе уравнение примет вид:

(**).Упростим правую часть полученного уравнения:

Таким образом, уравнение (**) примет вид

откуда получаем, что

Так как

, то подставив значение

, получим:

Ответ:

Пример 3.Решить систему:

Решение.Область определения системы:

Применяя способ подстановки, получаем:

(***) Далее решаем второе уравнение системы, имеем:

. В результате упрощений получаем:

Теперь систему (***) заменим двумя системами:

Решим каждую систему.Решение первой системы:

Решение второй системы:

Пример 4.Решить систему уравнений:

Решение.Вычтем первое уравнение из второго и применим формулу

Случай 1: cos 4y = 1, тогда из второго уравнения

, то есть cos 4x = 0. Получена система двух простейших уравнений:

Случай 2:

Решая полученную систему простейших уравнений, находим вторую группу корней:

Еще раз напомним, что решение каждого уравнения системы содержит свой целочисленный параметр (решением будет каждая пара чисел, заданная полученными формулами, в которых мы можем задавать n и k любые целые значения, не обязательно одинаковые).Ответ:

Комментарий. При решении показательно-логарифмических систем

применяются как обычные методы решения систем (подстановка, замена переменных), так и приемы решения соответствующих уравнений. Если в системе присутствуют логарифмы, не забудьте об ограничениях на допустимые значения неизвестных. Если получившиеся неравенства трудны для решения (например, неравенства с двумя переменными), можно ограничиться подстановкой в них найденных решений.Пример 5.Решить систему уравнений:

Решение.ОДЗ: x > 0, y > 0.Из первого уравнения можно сделать подстановку:

Находим соответствующие значения у: у₁ = 4 – 1 = 3, у₂ = 4 – 3 = 1. Все найденные решения входят в ОДЗ.Ответ: (1; 3), (3; 1).Пример 6.Решить систему уравнений

Решение.ОДЗ: x > 0, y > 0, x ≠ 1, y ≠ 1.Пусть

тогда

и из первого уравнения получаем:

3t² – 10t + 3 = 0, t₁ = 3, t₂ =

Случай 1.

следовательно, у = х³. Подставим во второе уравнение: х⁴ = 81, с учетом ОДЗ х = 3, у = 33 = 27.Случай 2.

Ответ: (3; 27), (27; 3).Пример 7.Решить систему уравнений

Решение.Сделаем замену:

и получим систему

Получено однородное уравнение. Разделим обе части на

постороннее решение, так это отношение может быть только положительным.Итак,

Подставим этот результат в первое уравнение системы для u и v:

Единственный положительный корень этого уравнения –

. Тогда

и после обратной замены получаем:

следовательно,

Ответ: (Ѕ; Ѕ).Пример 8.Решить систему уравнений

Решение.ОДЗ: x > 0, y > 0.Перейдем во всех логарифмах к основанию 3:

Разделим левую и правую части первого уравнения на соответствующие части второго:

(второе решение отрицательно и является посторонним, так как х и у одного знака, следовательно, их отношение положительно).Получена подстановка: х = 4у. Тогда из второго уравнения последней системы 4у³ = 1, у = 1, х = 4.Ответ: (4; 1).Пример 9.Решить систему уравнений