Математика: Показательные уравнения

Показательные уравнения

Для решения показательного уравнения его нужно свести к простейшему уравнению вида

откуда следует, что

Иногда такое преобразование можно провести непосредственно, в других случаях требуется предварительно сделать замену переменной.Пример 1. Решить уравнение:

Решение.Представим обе части равенства в виде степеней с основанием 2:

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение: 4^x+2 + 2 * 4^x – 5^x+2 = 5 * 5^x.Решение.Поменяем порядок слагаемых: 4^x+2 + 2 * 4^x = 5^x+2 + 5 * 5^x,4^x * (16 + 2) = 5^x * (25+5),18 * 4^x = 30 * 5x,

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение: 2^x+4 * 3^x = 576.Решение.Преобразуем левую часть: 16 * (2^x * 3^x) = 576. Разделим обе части на 16:6^x = 36, х = 2.Ответ: 2.Пример 4. Решить уравнение:

Решение.Запишем уравнение в виде:

и сделаем замену: t = 2^x (t > 0). Тогда:2t² + 16t – 40 = 0; t² + 8t – 20 = 0; t₁ = 2, t₂ = - 10 < 0 – посторонний корень. Обратная замена: 2^х = 2, х = 1.Ответ: 1.Пример 5. Решить уравнение:

Решение.Если записать левую часть так:

то можно заметить, что основания степеней (числа 4, 10, 25) образуют геометрическую прогрессию. В этом случае можно разделить обе части равенства, например, на 25^х (поскольку ни при каком х это выражение не равно нулю) и получить уравнение

или

Замена

приводит к уравнению t² + 2t – 8 = 0, t₁ = 2, t₂ = - 4 < 0 – посторонний корень. Следовательно,

Ответ:

Пример 6. Решить уравнение: 12x * 4^x – 5x * 2^x+1 – 9 * 4^x+1 + 30 * 2^x = 0.Решение.Разложим левую часть на множители:

Первый множитель никогда не равен нулю, поэтому ответом будут корни уравнений:1 случай. 2х – 6 = 0, х = 3.2 случай.

Ответ: 3;

Пример 7. Решить уравнение:

Решение.Заметим, что первое подмодульное выражение положительно при любом х, то есть его модуль равен подмодульному выражению. Рассмотрим две возможности для знака второго подмодульного выражения:1 случай.

Тогда

2 случай.

При этом

тождество, следовательно, любое значение x < -2 является решением уравнения.Ответ:

Пример 8. Решить уравнение:

Решение.При решении этого уравнения важно не забыть, что равенство будет верным не только в случае, когда показатель степени равен 0, но и тогда, когда основание степени в левой части равно 1, так как при возведении 1 в любую степень мы получим 1. Кроме того, ОДЗ определяется условием: х – 5 ≠ 0, то есть х ≠ 5.1 случай.

2 случай.

Ответ: 4; 6;

Видеолекция «Показательные уравнения»:

Видеолекция «Показательные уравнения. Продолжение»:

Перейти к выполнению теста: Тест. Показательные уравнения