Математика: Иррациональные числа

Иррациональные числа

Как известно из геометрии, общею мерою

двух отрезков прямой, или двух углов, или двух дуг одинакового радиуса, вообще двух значений одной и той же величины, называется такое значение этой величины, которое в каждом из них содержится целое число раз без остатка. В геометрии же утверждается, что могут быть такие два отрезка, которые не имеют общей меры, например, сторона квадрата и его диагональ. Это отношение может быть выражено только бесконечной непериодической дробью:

Иррациональные числа. Числа целые, дробные, десятичные конечные и десятичные периодические носят общее название рациональных чисел

; десятичные бесконечные дроби непериодические называются иррациональными числами

. Первые служат мерою величин, соизмеримых с единицею, вторые — мерою величин, несоизмеримых с единицею.Иррациональное число считается известным

(или данным), если указан способ, посредством которого можно находить любое число его десятичных знаков.Два иррациональных числа (как и два рациональных) считаются равными

, если они произошли от измерения одною и тою же единицею двух равных величин; из двух неравных чисел то считается большим, которое произошло от измерения большей величины. Две равные величины, конечно, должны содержать в себе одинаковое число целых единиц, одинаковое число десятых долей, одинаковое число сотых долей и т.п., поэтому равные иррациональные числа должны быть выражены одинаковыми цифрами. Большая же величина должна содержать в себе большее число целых или — при равенстве целых — большее число десятых, или — при равенстве целых и десятых — большее число, сотых и т.д. Например, число 2,745037... больше числа 2,745029..., так как в первом 6-я цифра выражает число большее, чем 6-я цифра во втором, при тождественности всех предыдущих цифр.Иррациональные числа могут быть положительными и отрицательными, смотря по тому, измеряют ли они величины, считаемые положительными, или величины, считаемые отрицательными.Числа рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные получили новое название действительных

или вещественных чисел

.Приближенные значения иррационального числа. Пусть нам дано какое-нибудь иррациональное число α, т.е. пусть указан способ, посредством которого мы можем получить сколько угодно цифр числа α (этим способом может быть, например, то правило, посредством которого мы находим приближенные квадратные корни с точностью до 1/10 до 1/100 до 1/1000 и т.д.). Положим, мы нашли такие 5 цифр числа α:α = 1,73205080...Возьмем из этих цифр несколько первых, например, цифры 1,73, а остальные отбросим. Тогда мы получим приближенное значение числа α, причем это значение будет с недостатком, так как 1,73< α. Если последнюю из удержанных нами цифр увеличим на 1, т.е. вместо 1,73 возьмем 1,74, то получим тоже приближенное значение числа α, но с избытком. Обыкновенно из двух приближенных значений, из которых одно с недостатком, другое с избытком, берут значение с недостатком, если первая из отброшенных цифр менее 5, и значение с избытком, если эта цифра больше 5.Сложение иррациональных чисел. Пусть α и β будут какие-нибудь данные положительные иррациональные числа. Если эти числа даны, то это значит, что мы можем найти их приближенные значения с любою точностью. Пусть, например, приближенные значения чисел α и β, взятые с недостатком, будут такие (мы берем приближенные значения

	до 0,1	до 0,01	до 0,001	до 0,0001
для числа *α .....*	1,7	1,73	1,732	1,7320
для числа *β .....*	1,4	1,41	1,414	1,4142

Соответствующие приближенные значения с избытком получаются из этих чисел посредством усиления последнего десятичного знака на 1.Тогда: сложить α и β значит найти число, которое было бы больше каждой из сумм:

1,7+1,4=3,1,1,73+1,41=3,14,1,732+1,414=3,146,1,7320+1,4142=3,1462;

и меньше каждой из сумм:

1,8+1,5=3,3,1,74+1,42=3,16,1,733+1,415= 3,148,1.7321+1,4143=3,1464,

т.е. сложить числа α и β — значит найти такое третье число, которое было бы больше суммы любых приближенных их значении, взятых с недостатком, но меньше суммы любых приближенных значении, взятых с избытком.Взяв приближенные значения чисел α и β, указанные выше, мы можем сказать, что произведение αβ есть число, которое:

больше каждого из произведений: 1,7*1,4=2,381,73*1,41=2,4393,1,732+1,414=2,449048,1,7320+1,4142=2,4493944;
и меньше каждого из произведений: 1,8+1,5=2,7,1,74+1,42=2,4708,1,733+1,415= 2,452195,1,7321+1,4143=2,464623481129,

т.е. перемножить числа αβ — значит найти такое третье число, которое было бы больше произведения их любых приближенных значений, взятых с недостатком, но меньше произведения их любых приближенных значений, взятых с избытком.Возвысить иррациональное число α во вторую, третью, четвертую и т.д. степени — значит найти произведение, составленное из двух, трех, четырех и т.д. сомножителей, равных α.Обратные действия определяются для иррациональных чисел так же, как и для рациональных; так, вычесть из числа α число β значит найти такое число х, чтобы сумма β+х равнялась α, и т.п.Если одно из чисел α или β будет рациональное, то в указанных определениях прямых действий вместо приближенных значений такого числа можно брать точное число.Произведение иррационального числа на нуль принимается, как и для чисел рациональных, равным нулю.Действия над отрицательными иррациональными числами производятся согласно правилам, данным для рациональных отрицательных чисел.Резюмируя, высказанное можно отметить, что действия над иррациональными числами обладают теми же свойствами, какие принадлежат действиям над числами рациональными; например, сумма и произведение обладают свойствами переместительным и сочетательным; произведение и деление, кроме того, обладают еще распределительным свойством. Свойства, выражаемые неравенствами, также сохраняются у чисел иррациональных; так, если α> β, то α+γ> β, αγ> βγ (если γ> 0) и αγ< βγ (если γ< 0) и т.п.Извлечение корня. Пусть дана степень, определяемая равенством

, где a – заданная степень, n – заданный показатель степени, x – неизвестное основание степени.Неизвестное основание x степени находится с помощью действия извлечения корня:

.Корнем n-ой степени из числа a

называется такое число, которое будучи возведено в степень n, дает a.Например,

, так как

.Положительное значение корня из неотрицательного числа называется арифметическим значением корня

.В приведенном примере мы находим арифметический корень. Таким образом, из определения следует, что

. Это равенство служит для проверки правильности произведенного извлечения корня.Заметим, что

, где n — натуральное число и

, не существует. Например, выражения

не имеют смысла. Корень нечетной степени извлекается и из отрицательного числа. Например,

. Чтобы устранить двузначность корня n-ой степени, и ввели понятие арифметического корня.Например,

.Пример 1. Определить, при каких значениях x выражения

имеют смысл.Решение.

1) Из определения арифметического квадратного корня следует, что -x≥ 0. Умножим обе части этого неравенства на -1 и получим, что

2) На основании определения арифметического квадратного корня имеем

, или

Основные свойства корней. Если подкоренное выражение есть степень, показатель которой имеет общий множитель с показателем корня, то на этот множитель можно разделить оба показателя, или арифметическое значение корня не изменится, если показатель корня умножить на какое-то число, подкоренное выражение возвести в степень этого числа.

или

;

.Величина радикала не изменится, если подкоренное выражение возвысим в какую-нибудь степень и вместе с тем показатель радикала умножим на показатель той степени, в которую возвысили подкоренное выражение.

Некоторые преобразования корней

1) Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результат перемножить.

или

, если

Например,

2) Чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его из числителя и знаменателя отдельно и первый результат разделить на второй.

, если

Например,

3) Чтобы возвысить корень в степень, надо возвысить в эту степень подкоренное выражение, оставив тот же показатель корня.

или

, если

Например,

;

4) Чтобы извлечь корень из корня, надо перемножить показатели корней.

или

, если

Например,

5) Если подкоренное выражение разлагается на такие множители, что из некоторых можно извлечь точный корень, то какие множители, по извлечении из них корня, могут быть написаны перед знаком корня (т.е. могут быть вынесены за знак корня).

, если

Например,

;

6) Иногда бывает полезным решить обратную задачу и внести множитель под знак корня. Для этого достаточно возвысить такие множители в степень, показатель которой равен показателю корня, а затем записать множители под знаком корня.

Например,

7) Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

, т.к.

Например.

1) Исключить иррациональность в знаменателе дроби

2) Исключить иррациональность в знаменателе дроби

Действия над иррациональными выражениямиСложение и вычитание. Чтобы сложить или вычесть иррациональные одночлены, соединяют их знаками плюс и минус и делают приведение подобных членов, если это возможно.Например. 1)

.2)

Умножение. Чтобы перемножить несколько радикалов одинаковой степени, достаточно перемножить подкоренные числа. Так:

;

.Если для перемножения даны радикалы c различными показателями, то их можно предварительно привести к одному показателю. Если перед радикалами имеются коэффициенты, то их перемножают.Например: 1)

.2)

.Деление. Чтобы разделить радикалы с одинаковыми показателями, достаточно разделить их подкоренные числа. Радикалы с различными показателями можно привести предварительно к одинаковым показателям. Если есть коэффициенты, то их делят.Например.

.Возвышение в степень. Чтобы возвысить радикал в степень, достаточно возвысить в эту степень подкоренное число. Так

.Например,

.Извлечение корня. Чтобы извлечь корень из радикала, достаточно перемножить их показатели. Так:

.Например,

. Видеолекция «Иррациональные числа»:

Перейти к выполнению теста: Тест. Иррациональные числа